FOS T12
Aufgabe 2
Die Tour de France ist das weltweit berühmteste Straßenradrennen, das meist in Tagesetappen gefahren wird.
Das Streckenprofil eines Teilabschnitts einer bestimmten Tagesetappe wird
näherungsweise durch die ganzrationale Funktion mit der Definitionsmenge beschrieben.
Dabei entspricht der in horizontaler Richtung zurückgelegten Strecke in der Einheit Kilometer. gibt die Höhe in der Einheit Meter über dem Meeresspiegel an.
Von der Funktion sind folgende vier Eigenschaften I, II, III und IV bekannt:
I) für
II) Der Graph von hat zusätzlich zu den Randextrempunkten nur bei und bei weitere relative Extrempunkte.
III) ist die einzige Nullstelle der zweiten Ableitungsfunktion von der Funktion . Dabei wechselt bei das Vorzeichen.
IV)
Beschreiben Sie den Streckenverlauf entlang des betrachteten Teilabschnitts anhand der obigen vier Eigenschaften im Sachkontext. [5 BE]
Lösung anzeigen
I)
- Was bedeutet in Bezug auf einen Streckenverlauf?
II)
- Was muss bei bzw. bei vorliegen?
- Wie verläuft die Strecke nach weiter?
III)
- Es gibt bei eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel. Dann hat die erste Ableitung (die Steigungsfunktion) an der Stelle ein lokales Extremum.
- Was bedeutet das?
IV)
- Es wird die durchschnittliche Höhenänderung berechnet.
- Für welchen Streckenabschnitt erfolgt diese Berechnung?
- Wie groß ist diese?
Beschreibe den Streckenverlauf entlang des betrachteten Teilabschnitts anhand der obigen vier Eigenschaften im Sachkontext
I) Wegen geht es den ersten Kilometer nur bergauf.
II) Es gibt zwei Extrempunkte. Da der ersten Kilometer nur bergauf geht, und bei ein Extrempunkt liegt, muss es ein Hochpunkt sein (Berggipfel). Die weitere Strecke bis Kilometer geht bergab. Bei liegt dann ein Tiefpunkt (Talsohle). Danach geht es wieder bergauf.
III) Wenn die zweite Ableitung an der Stelle ihr Vorzeichen wechselt und die einzige Nullstelle ist, liegt am Punkt immer ein Wendepunkt vor. Da die zweite Ableitung bei eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel hat, besitzt die erste Ableitung (die Steigungsfunktion) an der Stelle ein lokales Extremum. Das bedeutet, dass der Graph von im Wendepunkt seine maximale oder minimale Steigung in diesem Bereich aufweist. Da die Strecke von bis bergab verläuft, liegt bei das stärkste Gefälle nach Streckenbeginn vor.
IV) Es wird die durchschnittliche Höhenänderung auf den letzten Kilometern (hier geht es nur bergauf) berechnet. Sie beträgt .