FOS NT12 2026
Aufgabe 3
Um das Kulturangebot im Ort zu verbessern, plant die Stadt den Bau einer großen rechteckigen Seebühne im nördlichen Bereich des Stadtsees. Zur Modellierung der Situation wurde ein Koordinatensystem gewählt, dessen x-Achse entlang der südlichen Begrenzungslinie der Seebühne verläuft. Diese liegt vom nördlichsten Punkt des Sees entfernt. Die y-Achse verläuft von Süden nach Norden mittig durch die geplante Seebühne.
Die Längeneinheit auf beiden Achsen ist Meter.
Im beschriebenen Koordinatensystem lässt sich die nördliche Begrenzung des Sees näherungsweise durch den Graphen der Funktion mit der Funktionsgleichung und der Definitionsmenge beschreiben.
Damit ein direkter Zugang vom Ufer zur Bühne möglich ist, sollen die beiden nördlichen Eckpunkte und der Seebühne direkt am Ufer liegen.
Auf das Mitführen von Einheiten während der Rechnungen wird verzichtet.
Stellen Sie einen Funktionsterm für die Funktion auf, deren Funktionswerte die Maßzahl des Flächeninhalts der Seebühne in Abhängigkeit von der halben Bühnenbreite beschreiben.
[Mögliches Ergebnis: ]
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- Hauptbedingung:
- Nebenbedingung: und
- Setze die Nebenbedingungen in ein.
Stelle einen Funktionsterm für die Funktion auf, deren Funktionswerte die Maßzahl des Flächeninhalts der Seebühne in Abhängigkeit von der halben Bühnenbreite beschreibt
Hauptbedingung:
Nebenbedingung: und
Nebenbedingungen in eingesetzt:
Aufgrund der Anforderungen der Bühnenaufbauten gilt . Bestimmen Sie den Wert für , für den der Flächeninhalt der Bühne den absolut größten Wert annimmt. Berechnen Sie für diesen Fall die Abmessungen der Seebühne jeweils auf ganze Meter gerundet.
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- Bekannt: und
- Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist .
- Berechne die 1. Ableitung und löse die Gleichung
- Beachte, muss in liegen.
- Nachweis des Maximums über die 2. Ableitung oder mithilfe einer Monotonietabelle.
- Was ist mit den Randwerten?
- Berechne , die Länge und die Breite der Seebühne.
Bestimme den Wert für x, für den der Flächeninhalt der Bühne den absolut größten Wert annimmt
Bekannt: und
Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist .
Berechne die 1. Ableitung und löse die Gleichung .
Der negative Wert entfällt (dieser Wert liegt in )
Die hinreichende Bedingung für ein Extremum ist .
Bilde die 2. Ableitung und prüfe mit dem Wert .
Maximum
Es ist das einzige Maximum im Definitionsbereich, daher ist es auch ein absolutes Maximum.
Anmerkung 1: Der Nachweis des Maximums kann auch mit einer Monotonietabelle erfolgen.
Anmerkung 2: Die Randwerte und sind kleiner als .
Die Seebühne hat dann die auf ganze Meter gerundeten Abmessungen und