FOS NT12 2026 Analysis II
Aufgabe 1
Die nebenstehende Abbildung zeigt einen Ausschnitt des Graphen einer ganzrationalen Funktion dritten Grades mit der Definitionsmenge .
Die ganzrationalen Nullstellen können der Abbildung entnommen werden.
Bestimmen Sie den Term der Funktion in vollständig faktorisierter Form und zeigen Sie durch Rechnung, dass sich die Funktionsgleichung von auch in folgender Form darstellen lässt:
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- Ansatz nach den abgelesenen Nullstellen und :
- Setze die Koordinaten von ein. Forme den Funktionsterm um.
Bestimme den Term der Funktion in vollständig faktorisierter Form und zeige durch Rechnung, dass sich die Funktionsgleichung von auch in folgender Form darstellen lässt:
Ansatz nach den abgelesenen Nullstellen und :
Setze die Koordinaten von ein:
Forme den Funktionsterm mithilfe einer binomischen Formel um:
oder
Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes, in dem die maximale positive Steigung besitzt. Begründen Sie, weshalb es keine Stelle gibt, für die ein absolutes Minimum annimmt.
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Teil 1
- Berechne die 1. und 2. Ableitung von .
- Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist .
- Berechne den y-Wert .
- Es handelt sich um eine einfache Nullstelle der 2. Ableitung.
- Betrachte den Graphen von . Wo liegt der Wendepunkt?
Teil 2
- Eine ganzrationale Funktion 3. Grades besitzt nur einen Wendepunkt.
- Weiterhin gilt: und
- Was folgt dann für ?
Bestimme die Koordinaten des Punktes, in dem die maximale positive Steigung besitzt
Gegeben ist .
Berechne die 1. und 2. Ableitung von :
Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist .
Berechne den y-Wert:
Es handelt sich um eine einfache Nullstelle der 2. Ableitung.
Betrachtest Du den Graphen von , dann liegt der Wendepunkt im steigenden Teil des Graphens. Im Wendepunkt hat also die maximalste positive Steigung.
Begründe, weshalb es keine Stelle gibt, für die ein absolutes Minimum annimmt
Es ist . Der Graph von ist eine nach unten geöffnete Parabel, d. h. und
Demnach gibt es keine Stelle, an der ein absolutes Minimum annimmt.
Der Graph der Funktion und die x-Achse schließen ein endliches Flächenstück ein. Berechnen Sie die Maßzahl seines Flächeninhalts.
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- Berechne .
- Die Fläche liegt unterhalb der x-Achse
Berechne die Maßzahl seines Flächeninhalts
Die Fläche liegt unterhalb der x-Achse
Der Flächeninhalt der eingeschlossenen Fläche beträgt .