Aufgabe 1
In einem Theater wird auf der Bühne eine Holzplatte aufgehängt und von einer punktförmigen Lichtquelle angestrahlt. Die Situation wird modellhaft in einem kartesischen Koordinatensystem des betrachtet.
Die dreieckige Holzplatte hat die Eckpunkte , und .
Die punktförmige Lichtquelle projiziert auf den Boden der Theaterbühne eine Schattenfläche mit den Eckpunkten und .
Die Koordinaten der Punkte sind Längenangaben in der Einheit Meter.
Die Holzplatte soll entlang der Kanten mit einem fluoreszierenden Band beklebt werden. Ermitteln Sie die hierzu nötige Länge des Bandes. [3 BE]
Lösung anzeigen
- Berechne die Länge der drei Seiten des Dreiecks und addiere sie.
Ermittle die hierzu nötige Länge des Bandes
Berechne die Länge der drei Seiten des Dreiecks:
Die nötige Länge des Bandes beträgt rund .
Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene , in der die Holzplatte liegt, in Koordinatenform.
[mögliches Ergebnis: ] [4 BE]
Lösung anzeigen
- Es ist .
- Berechne den Normalenvektor von als Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren von .
mit .
Koordinatenform:
Berechne den Normalenvektor von als Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren von :
Setze die Koordinaten von in ein:
geteilt durch
oder
Aufgrund von Brandschutzbestimmungen muss die Ebene einen Mindestabstand von drei Metern zur punktförmigen Lichtquelle haben. Überprüfen Sie rechnerisch, ob diese Vorgabe erfüllt ist. [5 BE]
Lösung anzeigen
- Bestimme die Gleichung der Lotgeraden der Ebene durch den Punkt .
- Schneide mit
- eingesetzt in .
- Der Abstand des Punktes zur Ebene ist dann .
Überprüfe rechnerisch, ob diese Vorgabe erfüllt ist
Bestimme die Gleichung der Lotgeraden der Ebene durch den Punkt .
Schneide mit :
Eingesetzt in :
Dann gilt für den Abstand des Punktes zur Ebene :
Der Mindestabstand von drei Metern zur punktförmigen Lichtquelle wird eingehalten, da ist.
Im Schwerpunkt der Holzplatte ABC soll ein Mikrofon befestigt werden. Berechnen Sie die Koordinaten des Schwerpunktes . [2 BE]
Lösung anzeigen
- Berechne .
Berechne die Koordinaten des Schwerpunktes
Die Koordinaten des Schwerpunktes sind .
Die punktförmige Lichtquelle wird ausgeschaltet und eine andere punktförmige Lichtquelle, die sich im Punkt befindet, kurz angeschaltet. Es entsteht eine neue dreieckige Schattenfläche mit den Eckpunkten , und , die in der Koordinatenebene liegen.
1
Die Punkte und liegen auf einer Geraden. Berechnen Sie die Koordinaten von . [Ergebnis: ] [3 BE]
2
Zeichnen Sie die Schattenfläche in das Koordinatensystem der Aufgabe 1 ein und entscheiden Sie mithilfe der Zeichnung, ob eine Schauspielerin, die im Punkt steht, sich innerhalb oder außerhalb der Schattenfläche befindet. [2 BE]
Lösung anzeigen
1
- Berechne .
- Da in der Ebene liegt, ist in der Geradengleichung .
- eingesetzt in die Geradengleichung ergibt .
2
Teil 1
- Zeichne die Schattenfläche in das Koordinatensystem der Aufgabe 1 ein.
Teil 2
- Prüfe anhand der Zeichnung, ob der Punkt sich innerhalb oder außerhalb der Schattenfläche befindet.
1 Berechne die Koordinaten von
Da in der Ebene liegt, ist in der Geradengleichung .
Eingesetzt in die Geradengleichung:
2 Zeichne die Schattenfläche in das Koordinatensystem der Aufgabe 1 ein
Entscheide mithilfe der Zeichnung, ob eine Schauspielerin, die im Punkt steht, sich innerhalb oder außerhalb der Schattenfläche befindet
Der Punkt liegt deutlich außerhalb der Schattenfläche .
Demnach befindet sich die Schauspielerin ebenfalls außerhalb der Schattenfläche .
Hinweis: Das Einzeichnen des Punktes war in der Aufgabenstellung nicht gefordert, wird hier nur zur Veranschaulichung dargestellt.
Die Holzplatte besitzt eine konstante Dicke von . Ermitteln Sie die Masse der Holzplatte gerundet auf ganze Kilogramm. Die Dichte des verwendeten Holzes ist [Hinweis: (V: Volumen der Holzplatte)] [4 BE]
Lösung anzeigen
- Gegeben: und und
- Es ist .
- Berechne das Volumen der Holzplatte .
- Für die Grundfläche gilt:
- Gib gerundet auf ganze Kilogramm an.
Ermittle die Masse der Holzplatte gerundet auf ganze Kilogramm
Gegeben: und und
Es ist .
Berechne das Volumen der Holzplatte :
Für die Grundfläche gilt:
Die Grundfläche der Holzplatte hat eine Fläche von rund .
Das Volumen der Holzplatte beträgt rund .
Die Masse der Holzplatte, gerundet auf ganze Kilogramm, beträgt rund .