Aufgabe 2
Gegeben ist die Funktion mit ihrer Definitionsmenge .
Ihr Graph wird mit bezeichnet.
Untersuchen Sie das Verhalten von für und .
Von diesen zwei Grenzwerten lässt sich auf zwei Asymptoten von schließen.
Geben Sie für diese beiden Asymptoten jeweils Art und Gleichung an. [5 BE]
Lösung anzeigen
- Berechne die Grenzwerte und .
- Gib die Art und Gleichung dieser Asymptoten an.
Untersuche das Verhalten von für und
1.
Hinweis: geht stärker gegen , als gegen geht.
2.
Gib für diese beiden Asymptoten jeweils Art und Gleichung an
Im Fall 1 handelt es sich um eine senkrechte Asymptote mit der Gleichung .
Im Fall 2 handelt es sich um eine waagerechte Asymptote mit der Gleichung .
In der Abbildung ist ein Teil des Graphens und eine seiner senkrechten Asymptoten mit der Gleichung dargestellt.
Der Hochpunkt ist der einzige relative Hochpunkt von (Nachweis nicht erforderlich). Zeichnen Sie den Graphen von anhand aller bekannter Eigenschaften und weiterer geeigneter Funktionswerte auch für den Bereich in das Koordinatensystem ein. Geben Sie auch die Wertemenge von an. [ 4 BE]
Lösung anzeigen
Teil 1
- Erstelle eine Wertetabelle. Übertrage die Punkte in das Koordinatensystem und verbinde sie.
Teil 2
- Gib die Wertemenge an. Berechne dazu die y-Koordinaten des Hochpunktes.
Zeichne den Graphen von anhand aller bekannter Eigenschaften und weiterer geeigneter Funktionswerte auch für den Bereich in das Koordinatensystem ein
Erstelle eine Wertetabelle:
0 | 0,1 | 0,2 | 0,37 | 0,5 | 0,6 | 0,7 | 0,8 | 0,9 | 1 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
n. d. | -4,34 | -3,11 | -2,72 | -2,89 | -3,26 | -4 | -5,6 | -10,54 | n. d. | |
HP |
Übertrage die Punkte in das Koordinatensystem und verbinde sie.
Gib auch die Wertemenge von an
Der Graph begrenzt im IV. Quadranten des Koordinatensystems mit der x-Achse und den beiden Geraden und ein endliches Flächenstück.
Markieren Sie dieses Flächenstück in der Zeichnung zu Aufgabe b) und ermitteln Sie die Maßzahl dieses Flächenstücks auf zwei Nachkommastellen gerundet. Verwenden Sie ohne Nachweis, dass die Funktion mit der Definitionsmenge eine Stammfunktion von ist. [4 BE]
Lösung anzeigen
Teil 1
- Kennzeichne das Flächenstück in der Zeichnung zu Aufgabe b).
Teil 2
- Da die Fläche unterhalb der x-Achse liegt, wird mit dem Betrag gerechnet.
- Berechne .
Markiere dieses Flächenstück in der Zeichnung zu Aufgabe b)
Ermittle die Maßzahl dieses Flächenstücks auf zwei Nachkommastellen gerundet
Da die Fläche unterhalb der x-Achse liegt, wird mit dem Betrag gerechnet.
Mit und folgt:
Die Maßzahl des Flächenstücks, auf zwei Nachkommastellen gerundet, beträgt rund .