Die Körpertemperatur einer an einem grippalen Infekt erkrankten Person kann vereinfacht durch die Modellfunktion mit der Funktionsgleichung mit beschrieben werden. Dabei steht die Variable für die Zeit in Tagen ab Auftreten der ersten Symptome zum Zeitpunkt und für die Körpertemperatur in zum Zeitpunkt .
Auf das Mitführen von Einheiten kann im Folgenden verzichtet werden.
Runden Sie Ihre Ergebnisse auf eine Nachkommastelle.
Untersuchen Sie, welche Temperatur sich nach diesem Modell theoretisch langfristig einstellt. [2 BE]
Lösung anzeigen
- Berechne .
Untersuche, welche Temperatur sich nach diesem Modell theoretisch langfristig einstellt
Berechne:
(Die e-Funktion überwiegt.)
Langfristig stellt sich eine Temperatur von ein.
Ermitteln Sie rechnerisch, welche maximale Körpertemperatur die erkrankte Person nach diesem Modell erreicht.
[Mögliches Teilergebnis: ] [6 BE]
Lösung anzeigen
- Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist .
- Bilde die 1. Ableitung und löse die Gleichung .
- Berechne den Funktionswert an der Stelle .
- Die hinreichende Bedingung für ein Extremum ist .
- Bilde die 2. Ableitung und prüfe mit dem Wert .
- Gib die Koordinaten des Extremums an.
- Alternativ: Erstelle eine Monotonietabelle.
Ermittle rechnerisch, welche maximale Körpertemperatur die erkrankte Person nach diesem Modell erreicht
Bilde mithilfe der Produkt- und Kettenregel die 1. Ableitung:
Löse die Gleichung .
Berechne den Funktionswert an der Stelle .
Die hinreichende Bedingung für ein Extremum ist .
Bilde die 2. Ableitung und prüfe mit dem Wert .
Es gibt ein relatives Maximum an der Stelle mit den Koordinaten .
Wegen und ist das relative Maximum auch das absolute Maximum.
Die höchste Körpertemperatur einer erkrankten Person beträgt nach diesem Modell rund .
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Erstelle eine Monotonietabelle.
,
Es gibt ein relatives Maximum an der Stelle mit den Koordinaten .
Wegen und ist das relative Maximum auch das absolute Maximum.
Die höchste Körpertemperatur einer erkrankten Person beträgt nach diesem Modell rund .