Gegeben ist die umkehrbare Funktion mit der Definitionsmenge .
Der Graph von wird mit bezeichnet und ist teilweise in der nebenstehenden
Abbildung zu sehen. Die Umkehrfunktion von wird mit bezeichnet.
Skizzieren Sie den Graphen von mit in die Abbildung aus Aufgabe 2. Geben Sie außerdem die Definitionsmenge von und die Gleichung der Asymptote des Graphen von an. [5 BE]
Lösung anzeigen
Teil 1
- Spiegele an .
Teil 2
- beginnt im Punkt .
- Berechne .
- Damit hast Du die Grenzen von .
Teil 3
- Asymptote: Betrachte den berechneten Grenzwert.
Skizziere den Graphen von mit in die Abbildung aus Aufgabe 2
Gib die Definitionsmenge von an
Es ist .
Wird der Punkt an der Winkelhalbierenden gespiegelt, erhältst Du den Punkt .
Weiterhin ist .
Gib die Gleichung der Asymptote des Graphen von an
Die Gleichung der Asymptote des Graphen von ist .
Ermitteln Sie einen Term der Umkehrfunktion von . [4 BE]
Lösung anzeigen
- Vertausche die Variablen und löse nach auf.
- Überlege, welches Vorzeichen der Lösung richtig ist.
Ermittle einen Term der Umkehrfunktion von
Vertausche die Variablen und löse nach auf:
Umformung: \cdot (y^2+1)
Löse nach auf.
Umformung: -2-xy^2
Klammere aus.
Umformung: :(4-x)
Du hast die Gleichung erhalten.
Wird an der Winkelhalbierenden gespiegelt, verläuft die Umkehrfunktion von im 1. Quadranten. Damit ist das Vorzeichen vor der Wurzel von positiv.
Die Graphen der Funktionen und schneiden sich näherungsweise im Punkt (Nachweis ist nicht erforderlich). Außerdem schließen sie zusammen mit den beiden Koordinatenachsen eine endliche Fläche ein. Schraffieren Sie diese Fläche in der Abbildung aus Aufgabe 2 und berechnen Sie die Maßzahl des Flächeninhalts dieser Fläche (auf eine Nachkommastelle gerundet). [6 BE]
Lösung anzeigen
Teil 1
- Markiere die eingeschlossene Fläche.
Teil 2
- Gegeben:
- Berechne aus Symmetriegründen .
- Bei der Lösung des Integrals führe für eine Polynomdivision durch.
Schraffiere die Fläche in der Abbildung aus Aufgabe 2
Berechne die Maßzahl des Flächeninhalts dieser Fläche
Gegeben: und (Polynomdivision)
Aus Symmetriegründen ist die gesuchte Fläche das Doppelte der Fläche zwischen und der Winkelhalbierenden .
Setze die Grenzen ein:
Die Maßzahl des Flächeninhalts dieser Fläche beträgt rund .