In der nebenstehenden Abbildung bezeichnet den Graphen der Funktion mit der Definitionsmenge .
Bestimmen Sie die Untersumme für den Flächeninhalt der schraffierten Fläche (siehe Abbildung) für eine Abdeckung durch vier gleichbreite Rechtecke. Runden Sie Ihr Ergebnis auf eine Nachkommastelle. [3 BE]
Lösung anzeigen
- Die Rechtecksbreite ist und .
- Berechne .
Bestimme die Untersumme für den Flächeninhalt der schraffierten Fläche (siehe Abbildung) für eine Abdeckung durch vier gleichbreite Rechtecke
Die Rechtecksbreite ist und .
Die Untersumme für den Flächeninhalt der schraffierten Fläche für eine Abdeckung durch vier gleichbreite Rechtecke beträgt rund .
Die folgende Abbildung ist nicht in der Aufgabenstellung gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
Die Umkehrfunktion von ist die Funktion für .
1 Weisen Sie mittels partieller Integration nach, dass gilt:
mit . [5 BE]
2 Für die Herstellung von Sorbets (spezielle Art eisgekühlter Süßspeisen) wird eine Gefrierform benutzt. Die Gefrierform
(siehe Abbildung rechts) wird beschrieben durch die Rotation der in der Aufgabe abgebildeten schraffierten Fläche um die y-Achse, wobei eine Längeneinheit gleich ist.
Bei der Zubereitung des Sorbets wird Flüssigkeit oben in die Gefrierform eingefüllt. Da die Gefrierform mit einem Deckel verschlossen werden muss und sich das Volumen der Flüssigkeit beim Gefrieren um ausdehnt (während sich die Gefrierform nicht verformt), darf die Gefrierform nicht bis oben hin befüllt werden, weil sonst beim Gefrieren der Deckel abgesprengt wird.
Berechnen Sie das Volumen der Flüssigkeit, das folglich maximal in die Gefrierform gefüllt werden darf, auf genau. Während der Berechnungen kann auf das Mitführen der Einheiten verzichtet werden. [4 BE]
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1
- Berechne das Integral mit partieller Integration.
- (Multiplikation der Funktion im Integral mit .)
2
- Berechne , dabei ist
- Beachte:
1 Weisen Sie mittels partieller Integration nach, dass gilt:
mit
Gegeben:
Es ist
(Multiplikation der Funktion im Integral mit .)
Berechne zunächst mit partieller Integration.
Es gilt:
Es ist also und
Berechne nun :
Es ist also und
Insgesamt erhältst Du:
Ergebnis: mit
2 Berechnen Sie das Volumen der Flüssigkeit, das maximal in die Gefrierform gefüllt werden darf, auf genau
Es ist .
Dann gilt:
Ergebnis für das Volumen:
Das Gesamtvolumen des Rotationskörpers beträgt rund , das sind des Volumens der Flüssigkeit.
Dann folgt für das Volumen der Flüssigkeit, das maximal in die Gefrierform gefüllt werden darf, .