Gegeben ist die Funktion mit der Definitionsmenge .
Ihr Graph wird mit bezeichnet. Geben Sie die Nullstelle von an und ermitteln Sie die
x-Koordinate und die Art des Extrempunkts von . [5 BE]
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Lösung
Voraussetzung
ExtremumStrategie
Teil 1
- Es gilt: . Was folgt daraus für das Argument der Funktion?
- Beachte den Definitionsbereich.
Teil 2
- Berechne die 1. Ableitung von und löse die Gleichung .
Teil 3
- Betrachte den Zähler und den Nenner der 1. Ableitung von . Triff eine Aussage über die Monotonie von .
- Das Argument der Funktion ist eine nach oben offene Parabel, die bei ihr Minimum hat. Was folgt daraus für das Extremum?
Schritte
Gib die Nullstelle von an
Es gilt: .
und .
Wegen entfällt die Lösung .
Die Nullstelle von ist .
Ermittle die x-Koordinate des Extrempunkts von
mit ist
Die Definitionsmenge ist , d. h. .
liegt daher am Rand des Definitionsbereichs.
Die x-Koordinate des Extrempunkts von ist .
Ermittle die Art des Extrempunkts von
liegt am Rand von .
Für alle anderen Werte gilt:
Zähler und der Nenner
Da eine stetige Funktion ist, ist streng monoton steigend.
Da die Funktion eine nach oben offene Parabel ist, die bei ihr Minimum hat, und die -Funktion streng monoton steigend ist, liegt bei ein globales Minimum vor (Randminimum).