Gegeben ist die Funktion mit der Definitionsmenge .
Berechnen Sie die Nullstelle von . Bestimmen Sie außerdem das Verhalten der Funktionswerte für . (4 BE)
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Teil 1
- Die Nullstelle der Funktion ist die Nullstelle des Zählerterms.
Teil 2
- Wegen muss nur betrachtet werden.
Berechne die Nullstelle von
Die Nullstelle der Funktion ist die Nullstelle des Zählerterms :
Umformung: -4
Löse nach auf.
Umformung: :4
Umformung: e^{()}
Umformung: -1
Die Nullstelle der Funktion ist .
Bestimme das Verhalten der Funktionswerte für
Wegen muss nur betrachtet werden.
Ermitteln Sie die Wertemenge von .
(7 BE)
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- Bilde die 1. Ableitung von mit Quotienten- und Kettenregel.
- Löse die Gleichung (notwendige Bedingung für ein Extremum).
- Erstelle eine Monotonietabelle
- Berechne den Funktionswert an der Stelle .
- Mit dem Ergebnis aus Aufgabe a) und dem Funktionswert an der Stelle erhältst Du den Wertebereich von .
Ermittle die Wertemenge von
Bilde die 1. Ableitung von mit Quotienten- und Kettenregel:
und
Löse die Gleichung (notwendige Bedingung für ein Extremum):
(weil )
Erstelle eine Monotonietabelle:
Bei liegt das absolute Maximum der Funktion .
Berechne den Funktionswert an dieser Stelle:
Mit dem Ergebnis aus Aufgabe a) und dem Funktionswert des Maximums folgt:
Die Wertemenge von ist .
Gegeben ist nun die Funktion mit der Definitionsmenge .
1 Bestimmen Sie eine integralfreie Darstellung von .
Hinweis: Die Substitution kann hilfreich sein. (6 BE)
2 Die Funktion sei eine Stammfunktion von mit der Definitionsmenge .
Begründen Sie, dass der Graph von einen Extrempunkt bei besitzt. (2 BE)
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Teil 1
- Löse das unbestimmte Integral mit der Substitution .
- Bestimme die integralfreie Darstellung von :
Teil 2
- ist eine Stammfunktion von und .
- Weiterhin gilt:
- Stelle mit waagrechter Tangente.
- Was folgt dann mit dem Ergebnis aus Aufgabe b)?
1 Bestimme eine integralfreie Darstellung von
Löse das unbestimmte Integral mit der Substitution :
Rücksubstitution
Bestimme nun die integralfreie Darstellung von :
Die integralfreie Darstellung von ist: .
2 Begründe, dass der Graph von einen Extrempunkt bei besitzt
ist eine Stammfunktion von und .
Weiterhin gilt:
(obere und untere Integralgrenze sind gleich).
Stelle mit waagrechter Tangente.
Mit dem Ergebnis aus Aufgabe b) folgt:
Bei der Stelle mit waagrechter Tangente () handelt es sich um einen Extrempunkt von .