Aufgabe B4
Gegeben ist die Gerade mit . Punkte auf der Geraden bilden zusammen mit dem Punkt sowie Punkten und Parallelogramme .
Es gilt: .
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
Zeichnen Sie die Gerade sowie die Parallelogramme für und für in ein Koordinatensystem.
Für die Zeichnung: Längeneinheit (3 Pkte.)
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- Zeichne die Gerade mit in ein Koordinatensystem.
- Zeichne den Punkt ein.
- Markiere den Punkt auf für .
- Trage im Punkt den Winkel mit dem Urzeigersinn ab.
- Markiere auf dem freien Schenkel die Länge .
- Zeichne eine Parallele zur Strecke durch .
- Trage auf der Parallelen ab.
- Verbinde mit .
- Verfahre entsprechend für das Parallelogramm .
Zeichne die Gerade sowie die Parallelogramme für und für in ein Koordinatensystem
Parallelogramm
Zeichne die Gerade mit in ein Koordinatensystem.
Zeichne den Punkt ein.
Markiere den Punkt auf für .
Trage im Punkt den Winkel mit dem Urzeigersinn ab.
Markiere auf dem freien Schenkel die Länge .
Zeichne eine Parallele zur Strecke durch .
Trage auf der Parallelen ab.
Verbinde mit .
Verfahre entsprechend für das Parallelogramm .
Ermitteln Sie rechnerisch die Koordinaten der Pfeile in Abhängigkeit von der Abszisse der Punkte .
(4 Pkte.)
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- Berechne den Vektor .
- Drehe den Vektor um mit (im Uhrzeigersinn).
- Die Drehmatrix für eine Drehung um im Uhrzeigersinn lautet: , setze ein.
- Multipliziere den Vektor mit Vektor .
Ermittle rechnerisch die Koordinaten der Pfeile in Abhängigkeit von der Abszisse der Punkte
Gleichung für mit Drehmatrix und Vektor aufstellen:
für
Die Drehmatrix für eine Drehung um im Uhrzeigersinn lautet:
Die Matrix und den Vektor einsetzen.
Multipliziere aus.
Fasse zusammen.
Die Koordinaten der Pfeile in Abhängigkeit von der Abszisse der Punkte lauten .
Die Seite des Parallelogramms liegt auf der Geraden .
Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes . (3 Pkte.)
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- Gegeben: , und
- Es gilt: mit .
- Löse die Gleichung nach auf.
- Setze in ein.
Berechne die Koordinaten des Punktes
Gegeben: , und
Es gilt: mit
Umformung: \cdot (0,55x+3,40)
Löse nach auf.
Löse die Klammer auf.
Umformung: +0,13x-1,7
Umformung: :0,405
Die Koordinaten des Punktes lauten .
Unter den Strecken hat die Strecke die minimale Länge.
Bestimmen Sie rechnerisch die x-Koordinate des Punktes .
(2,5 Pkte.)
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- Gegeben: und
- Weiterhin muss gelten:
- Löse das Skalarprodukt nach auf.
Bestimme rechnerisch die x-Koordinate des Punktes
Bekannt: Unter den Strecken hat die Strecke die minimale Länge.
Weiterhin gilt: und
Demnach gilt: (Richtungsvektor der Geraden)
Die x-Koordinate des Punktes lautet .
Begründen Sie, weshalb das Parallelogramm unter den Parallelogrammen den minimalen Flächeninhalt hat.
(2 Pkte.)
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Es gilt:
Dann ist .
Nach Aufgabe d) ist minimal und es gilt .
Was folgt dann für und für ?
Begründe, weshalb das Parallelogramm unter den Parallelogrammen den minimalen Flächeninhalt hat
Es gilt:
Dann ist .
Nach Aufgabe d) ist minimal. Da ist auch minimal und somit ist auch minimal.