Aufgabe B2
Das Rechteck ist die Grundfläche des Quaders . Die Zeichnung zeigt
ein Schrägbild des Quaders .
Es gilt: ; ; ;
;
liegt auf der Schrägbildachse.
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
Punkte liegen auf der Strecke .
Punkte liegen auf der Strecke , wobei gilt.
Die Dreiecke sind die Grundflächen von Prismen .
Zeichnen Sie das Prisma für in das Schrägbild ein. (1 Pkt.)
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- Gegeben
- Mit muss der Punkt einen Abstand von vom Punkt haben.
- Der Punkt muss einen Abstand von vom Punkt haben.
- Verbinde die Punkte zum Prisma .
Zeichne das Prisma für in das Schrägbild ein
Die Winkel haben das Maß mit . Zeigen Sie, dass für das Volumen der Prismen in Abhängigkeit von gilt: .
(2 Pkte.)
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- Für das Prismavolumen gilt:
- Dabei ist ein rechtwinkliges Dreieck mit der Fläche und der Höhe .
- Weiterhin ist und .
- Für gilt: . Berechne mit dem Tangens.
- Setze in ein.
Zeige, dass für das Volumen der Prismen in Abhängigkeit von gilt:
Für das Prismavolumen gilt:
Dabei ist ein rechtwinkliges Dreieck mit der Fläche und der Höhe .
Für gilt:
Weiterhin ist und .
Eingesetzt in folgt:
mit
Das Volumen des Prismas beträgt .
Berechnen Sie das zugehörige Winkelmaß . (1,5 Pkte.)
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- Löse die Gleichung .
Berechne das zugehörige Winkelmaß
Löse die Gleichung :
Umformung: :18
Löse nach auf.
mit .
Gibt es unter den Prismen ein Prisma , dessen Volumen mehr als halb so groß ist wie das Volumen des Quaders ?
Begründen Sie Ihre Entscheidung. (2 Pkte.)
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- Wo muss der Punkt liegen, damit das Prisma das größte Volumen hat?
- Wie groß ist dann dieses größte Volumen?
- Vergleiche mit der Behauptung.
Begründe Deine Entscheidung
Ist , dann erhält man das Prisma mit dem größten Volumen.
Es ist dann .
Folglich kann es kein Prisma geben, dessen Volumen mehr als halb so groß ist wie das Volumen des Quaders .