Ein Hersteller von Tauchflaschen plant ein neues Tauchflaschenmodell. Die Wandstärke des Materials wird vernachlässigt. Die Tauchflasche hat vereinfacht die Form eines geraden Zylinders mit aufgesetzter Halbkugel (siehe Abbildung). Die Firma gibt für die Zylinderhöhe (in ) die Bedingung vor. Bei den Berechnungen wird auf das Mitführen von Einheiten verzichtet. Runden Sie Ihre Ergebnisse auf zwei Nachkommastellen.
Zeigen Sie, dass die Maßzahl des Volumens (in ) der Tauchflasche in Abhängigkeit vom Zylinderradius (in ) durch die Funktion mit der Funktionsgleichung beschrieben werden kann. [3 BE]
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- Gegeben:
- Setze in ein.
Zeige, dass die Maßzahl des Volumens (in ) der Tauchflasche in Abhängigkeit vom Zylinderradius (in ) durch die Funktion mit der Funktionsgleichung beschrieben werden kann
Gegeben:
Setze ein:
Der Hersteller gibt für das neue Modell einen Radius von bis vor.
Ermitteln Sie den Radius , für den das Volumen der Tauchflasche maximal wird und berechnen Sie die Maßzahl dieses maximalen Volumens. [7 BE]
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Teil 1
- Gegeben: mit .
- Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist .
- Bilde die 1. Ableitung und löse die Gleichung .
- Erstelle eine Monotonietabelle.
- hat einen absoluten Hochpunkt an der Stelle .
Teil 2
- Berechne .
Ermittle den Radius , für den das Volumen der Tauchflasche maximal wird
Gegeben: mit .
Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist .
Bilde die 1. Ableitung und löse die Gleichung .
(nur positiver -Wert ist gesucht)
Es handel sich um eine einfache Nullstelle mit Vorzeichenwechsel.
Erstelle eine Monotonietabelle:
HP |
hat einen absoluten Hochpunkt an der Stelle .
Berechne die Maßzahl dieses maximalen Volumens
Die Maßzahl dieses maximalen Volumens beträgt rund .