Die Abbildung zeigt ausschnittsweise den Graphen einer ganzrationalen Funktion dritten Grades mit der Definitionsmenge und den Graphen der quadratischen Funktion mit der Definitionsmenge .
Entnehmen Sie der Abbildung geeignete ganzzahlige Werte und bestimmen Sie einen Funktionsterm der Funktion . [3 BE]
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- Wo wird die x-Achse geschnitten?
- Ist es eine einfache Nullstelle oder eine doppelte Nullstelle?
- Mache den entsprechenden Ansatz für die Funktionsgleichung.
Entnimm der Abbildung geeignete ganzzahlige Werte und bestimme einen Funktionsterm der Funktion
schneidet die x-Achse bei (einfache Nullstelle).
schneidet die x-Achse bei (doppelte Nullstelle).
Ansatz:
Setze den Punkt ein:
Der Funktionsterm der Funktion lautet .
Die Funktion lässt sich auch in der Form darstellen. Der Nachweis hierfür ist nicht erforderlich.
1 Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangente an im Punkt . [3 BE]
2 Zeigen Sie, dass in keinem Punkt des Graphen eine Tangente mit der Steigung angelegt werden kann. [3 BE]
3 Ermitteln Sie die exakten Koordinaten des Wendepunkts von . [4 BE]
4 (siehe Abbildung oben) und die Gerade mit der Funktionsgleichung und der Definitionsmenge schneiden sich im Punkt .
Zeichnen Sie die Gerade in die obige Abbildung ein und schraffieren Sie das Flächenstück, das durch und die y-Achse im I. Quadranten des Koordinatensystems eingeschlossen wird. Berechnen Sie die Maßzahl seines Flächeninhalts. [6 BE]
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1
- Allgemeine Tangentengleichung: .
- Berechne
- Bestimme mithilfe des Punktes .
2
- Zeige, dass die Gleichung keine Lösung hat.
3
- Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist .
- Handelt es sich bei um einfache Nullstelle mit Vorzeichenwechsel?
- Berechne .
4
- Zeichne ein und markiere die gesuchte Fläche.
- Berechne .
1 Bestimme eine Gleichung der Tangente an im Punkt
Gegeben: und
Allgemeine Tangentengleichung: .
Berechne :
Es ist
Setze ein, um zu bestimmen:
Die Gleichung der Tangente an im Punkt lautet .
2 Zeige, dass in keinem Punkt des Graphen eine Tangente mit der Steigung angelegt werden kann
Löse die Gleichung :
Umformung: \cdot 8
Löse nach auf.
Umformung: +16
Berechne die Diskriminante :
es gibt keine Lösung der quadratischen Gleichung. Somit gibt es keinen Punkt auf , an den eine Tangente mit der Steigung angelegt werden kann.
3 Ermittle die exakten Koordinaten des Wendepunkts von
Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist .
Es handelt sich um eine einfache Nullstelle mit Vorzeichenwechsel, d.h. hat eine Wendestelle bei .
Die exakten Koordinaten des Wendepunkts von lauten .
4 Zeichne die Gerade in die obige Abbildung ein und schraffiere das Flächenstück, das durch und die y-Achse im I. Quadranten des Koordinatensystems eingeschlossen wird
Berechne die Maßzahl seines Flächeninhalts
Die Maßzahl seines Flächeninhalts beträgt .