Die folgende Abbildung zeigt einen Ausschnitt des Graphen der Ableitungsfunktion einer auf ganz definierten ganzrationalen Funktion vierten Grades. Die Funktion bezeichne eine Stammfunktion von . [5 BE]
Entscheiden Sie jeweils, ob folgende Aussagen wahr (w) oder falsch (f) sind bzw. ob dies mit den gegebenen Informationen nicht entschieden (n) werden kann. Kreuzen Sie entsprechend an.
Hinweis: Jedes richtig gesetzte Kreuz ergibt +1 BE, jedes falsch gesetzte –1 BE und jedes nicht gesetzte 0 BE. Im ungünstigsten Fall wird die Aufgabe mit 0 BE bewertet.
Aussage | w | f | n |
|---|---|---|---|
ist punktsymmetrisch zum Ursprung. | |||
besitzt genau zwei Wendepunkte. | |||
besitzt einen globalen Tiefpunkt. | |||
hat genau vier Nullstellen. | |||
Für gilt: |
Lösung anzeigen
- Der Graph ist eine Funktion 3. Grades. Daher ist die Funktion eine Funktion 4. Grades.
- 1. Aussage: Funktionen 4. Grades sind symmetrisch zur y-Achse.
- 2. Aussage: Wie viele Extrema hat ? Wie viele Nullstellen hat dann ?
- 3. Aussage: hat drei Nullstellen und .
- Vergleiche mit .
- 4. Aussage: ist eine Funktion 5. Grades, d.h. es sind maximal fünf Nullstellen möglich. Was folgt daraus?
- 5. Aussage: Wie verhält sich für ? Was daraus für ?
Entscheide jeweils, ob folgende Aussagen wahr (w) oder falsch (f) sind bzw. ob dies mit den gegebenen Informationen nicht entschieden (n) werden kann
Der Graph ist eine Funktion 3. Grades. Daher ist die Funktion eine Funktion 4. Grades.
Aussage: ist punktsymmetrisch zum Ursprungfalsch, da eine Funktion 4. Grades nicht punktsymmetrisch zum Ursprung sein kann.
Aussage: besitzt genau zwei Wendepunkte (in dem gezeichneten Bereich von wahr, da zwei Extrema besitzt, d.h. hat genau zwei Nullstellen.
Aussage: besitzt einen globalen Tiefpunkt wahr.
Die linke Nullstelle von ist . Hier hat einen Vorzeichenwechsel von .
Die mittlere Nullstelle von ist . Hier hat einen Vorzeichenwechsel von .
Die rechte Nullstelle von ist . Hier hat einen Vorzeichenwechsel von .
Unterhalb von der Nullstelle ist die Funktion fällt. Damit ist es eine nach oben offene Funktion 4. Grades, die einen kleinsten Wert hat, einen globalen Tiefpunkt.
Aussage: hat genau vier Nullstellen ist eine Funktion 5. Grades, d.h. es sind maximal fünf Nullstellen möglich. Deshalb kann nicht entschieden werden, dass genau vier Nullstellen hat.
Aussage: Für gilt: wahr. Für geht
Kreuze entsprechend an.
Aussage | w | f | n |
|---|---|---|---|
ist punktsymmetrisch zum Ursprung. | x | ||
besitzt genau zwei Wendepunkte. | w | ||
besitzt einen globalen Tiefpunkt. | w | ||
hat genau vier Nullstellen. | x | ||
Für gilt: | w |