Zwei defekte Computermonitore sind mit zwei guten zusammengepackt worden. Man prüft die Monitore der Reihe nach, bis man weiß, welche die zwei fehlerhaften sind. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist man nach Prüfung des zweiten Monitors, mit welcher Wahrscheinlichkeit erst nach Prüfung des dritten fertig?
Lösung anzeigen
Erstelle zunächst ein Baumdiagramm (Ziehen ohne Zurücklegen). Berechne dann die gesuchten Wahrscheinlichkeiten mithilfe der Pfadregeln. Auch die Betrachtung eines Gegenereignisses kann hilfreich sein.
Es gibt in dieser Aufgabe insgesamt vier Monitore: Zwei kaputte und zwei gute. Es wird ohne Zurücklegen ein Monitor nach dem anderen gezogen und nachgesehen, ob er kaputt ist oder nicht.
Warum ohne Zurücklegen?
Da jeder Monitor nur einmal geprüft werden muss (denn danach weiß man ja, ob er kaputt ist oder nicht), wird hier ohne Zurücklegen gezogen.
Folgende Bezeichnungen für die Ereignisse kannst du hier einführen:
Wie man diese Aufgabe auf das Urnenmodell zurückführen kann
Das Zufallsexperiment, das hier beschrieben wird, lässt sich mithilfe des Urnenmodells untersuchen:
Die Monitore sind hier Kugeln in einer Urne. Es gibt zwei und zwei . Man zieht der Reihe nach eine Kugel (bzw. einen Monitor) ohne Zurücklegen aus der Urne, und sieht nach, ob sie rot (kaputt) oder blau (gut) ist.
Um die Wahrscheinlichkeiten aus der Aufgabenstellung zu berechnen, stellst du ein Baumdiagramm auf:
Da man ohne zurücklegen zieht, ändern sich mit jeder Überprüfung die Wahrscheinlichkeiten.
Überlege dir nun, welche Pfade zu den Ereignissen passen, die in der Aufgabenstellung genannt werden.
Fertig nach zwei Überprüfungen
Bei welchen Pfaden weiß man nach zwei überprüften Monitoren schon, welche die kaputten Monitore sind? Das sind genau die Pfade, bei denen es nach dem zweiten Schritt keine Verzweigung mehr gibt. Es gibt also zwei mögliche Pfade:
- Die ersten beiden Monitore, die angesehen werden, sind kaputt. Das entspricht dem Pfad . Dieser Pfad hat die Wahrscheinlichkeit
- Die ersten beiden Monitore sind gut. Das entspricht dem Pfad . In diesem Fall sind genau die beiden übrigen Monitore die kaputten. Der Pfad hat die Wahrscheinlichkeit
Weil es bei den anderen Pfaden im zweiten Schritt immernoch eine Verzweigung gibt, kommen diese Pfade nicht mehr infrage.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, nach zwei Überprüfungen fertig zu sein, ist also:
Fertig nach drei Überprüfungen
Eine Möglichkeit, die Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, mit der man nach drei Überprüfungen fertig ist, ist, wieder die Wahrscheinlichkeiten der entsprechenden Pfade auszurechnen und zu Addieren. Eine weitere Möglichkeit, die etwas Arbeit spart, ist, mit der Gegenwahrscheinlichkeit zu argumentieren:
Sieh dir die Pfade an, bei denen man nicht nach zwei Überprüfungen fertig ist. Das sind alle Pfade außer und .
Bei all diesen Pfaden weiß man nach der dritten Überprüfung schon, welche die kaputten Monitore sind. Denn dann kann man schließen, ob der vierte kaputt ist oder nicht. Das heißt:
Das Ereignis ist genau das Gegenereignis zu . Und die Wahrscheinlichkeit, nach zwei Überprüfungen fertig zu sein, hast du oben schon berechnet. Daher gilt: