Badminton wird auf einem rechteckigen Spielfeld gespielt, das lang ist. Dabei wird ein Federball über ein hohes Netz geschlagen (vgl. Abbildung).
Im Folgenden werden Flugbahnen von Federbällen, die von Hälfte in Hälfte des Spielfelds geschlagen werden, modellhaft mithilfe von Funktionen beschrieben. Vereinfachend werden nur Flugbahnen betrachtet, die innerhalb einer Ebene verlaufen, die senkrecht zum horizontalen Boden und parallel zur Seitenlinie des Spielfelds ist. Das im Modell verwendete Koordinatensystem liegt in dieser Ebene, wobei die x-Achse den Boden und der Punkt
die horizontal verlaufende Oberkante des Netzes beschreibt. Eine Längeneinheit entspricht einem Meter in der Wirklichkeit.
Die in definierte Funktion beschreibt für die Flugbahn bei einem bestimmten Schlag.
Geben Sie die Koordinaten des Schnittpunkts des Graphen von mit der y-Achse an und interpretieren Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang. (2 BE)
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Teil 1
- Setze in ein
Teil 2
- Höhe in Metern über dem Netz .
Gib die Koordinaten des Schnittpunkts des Graphen von mit der y-Achse an und interpretiere das Ergebnis im Sachzusammenhang
Setze in ein:
Die Koordinaten des Schnittpunkts des Graphen von mit der y-Achse sind .
Interpretiere das Ergebnis im Sachzusammenhang
Das Netz wird in einer Höhe von bei diesem Schlag überquert.
Begründen Sie, dass der Federball bei diesem Schlag innerhalb von Hälfte auf dem Boden auftrifft, wenn die Flugbahn nicht unterbrochen wird. Ein Spieler steht hinter dem Netz in Hälfte unterhalb der Flugbahn des Federballs. Berechnen Sie die Höhe des Federballs über dem Boden an dieser Stelle. (4 BE)
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Teil 1
- Finde die positive Nullstelle von und vergleiche diesen Wert mit der Länge der Platzhälfte .
Teil 2
- Berechne .
Begründe, dass der Federball bei diesem Schlag innerhalb von Hälfte auf dem Boden auftrifft, wenn die Flugbahn nicht unterbrochen wird
Es ist .
Die Flugbahn trifft bei auf dem Boden, denn .
Die Hälfte hat eine Länge von und , also trifft der Federball bei diesem Schlag innerhalb von Hälfte auf dem Boden.
Berechne die Höhe des Federballs über dem Boden an dieser Stelle
Berechne .
Die Höhe des Federballs über dem Boden an dieser Stelle beträgt rund .
Weisen Sie nach, dass ein Term der ersten Ableitungsfunktion von ist. Ermitteln Sie und deuten Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang. (6 BE)
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Teil 1
- Berechne und benutze die Produkt- und Kettenregel.
Teil 2
- Berechne .
- Was bedeutet eine unendlich große Steigung?
Weise nach, dass ein Term der ersten Ableitungsfunktion von ist
Benutze die Produkt- und Kettenregel.
Bringe auf den Hauptnenner :
Ermittle und deute das Ergebnis im Sachzusammenhang
Der Federball trifft senkrecht auf den Boden auf.
Im Verlauf des Flugs erreicht der Federball eine maximale Höhe.
Berechnen Sie diese. (2 BE)
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- Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist .
- Für die hinreichende Bedingung für ein Extremum benutze das Vorzeichenwechselkriterium.
- Berechne .
Berechne die maximale Höhe
Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist .
Für die hinreichende Bedingung für ein Extremum benutze das Vorzeichenwechselkriterium:
und
Es findet also ein Vorzeichenwechsel von statt.
Berechne .
Die maximale Höhe beträgt .