Die Abbildung zeigt einen Würfel der Kantenlänge in einem Koordinatensystem. Drei Seitenflächen dieses Würfels liegen in Koordinatenebenen.
Die Ebene enthält die Punkte
, und den Mittelpunkt der Kante .
Die Ebene teilt den Würfel in zwei Teilkörper. Berechnen Sie das Volumen des kleineren Teilkörpers. (2 BE)
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- Halbiere den Würfel durch den Mittelpunkt der Kante . Dann teilt die Ebene die linke Würfelhälfte in zwei gleich Teile. Ein Teil davon ist der kleinere Teilkörper.
- Berechne sein Volumen.
Berechne das Volumen des kleineren Teilkörpers
Betrachte die Seite des Würfels. Die Ebene verläuft durch die Punkte und . Der Flächeninhalt des Dreiecks ist des Flächeninhalts der Würfelseite.
Also ist auch das Volumen des kleineren Teilkörpers des Volumens des Würfels.
Das Volumen des kleineren Teilkörpers beträgt .
Eine zweite Ebene enthält die Punkte und sowie den Mittelpunkt der Kante .
Zeichnen Sie die Schnittfigur dieser Ebene mit dem Würfel in die Abbildung
ein und geben Sie eine Gleichung der Schnittgeraden der Ebenen und an. (3 BE)
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Teil 1
- Zeichne, wie angegeben, die Ebene ein.
Teil 2
- Ein Punkt, der auf der Schnittgeraden der beiden Ebenen liegt, ist .
- Die Schnittgerade verläuft parallel zur x-Achse.
Zeichne die Schnittfigur dieser Ebene mit dem Würfel in die Abbildung ein und gib eine Gleichung der Schnittgeraden der Ebenen und an
Die Abbildung in Aufgabe a) zeigt den Punkt . liegt auf der Schnittgeraden der beiden Ebenen und . Die Schnittgerade verläuft parallel zu x-Achse.
Dann lautet die Schnittgeradengleichung:
mit .