Weinkenner sind davon überzeugt, dass je nach Weinsorte die passende Weintemperatur wichtig für den Genuss des Weins ist. So soll zum Beispiel Rotwein bei Raumtemperatur genossen werden. Mit einem Wein-Thermometer wird in einem Raum die Temperatur des Weins gemessen, die niedriger als die Raumtemperatur ist. In dieser Aufgabe zeigt das Wein-Thermometer unmittelbar vor dem Eintauchen in den Wein die Raumtemperatur von an. Nach dem Eintauchen in den Wein wird es erst allmählich die Weintemperatur anzeigen. Sowohl die Raumtemperatur als auch die Weintemperatur sind während der Messung als konstant zu betrachten.
Die vom Wein-Thermometer in der Einheit angezeigte Temperatur in Abhängigkeit von der Zeit (gemessen in Sekunden ab dem Zeitpunkt des Eintauchens) lässt sich durch die Differenzialgleichung beschreiben, wobei ein reeller Parameter ist. Auf das Mitführen der Einheiten wird im Folgenden verzichtet.
Zeigen Sie, dass die Funktion für jeden Wert von eine Lösung der obigen Differenzialgleichung ist, und begründen Sie, warum in der vorliegenden Situation gelten muss. (4 BE)
Lösung anzeigen
Teil 1
- Berechne und setze in die gegebene DGL ein.
Teil 2
- Zur Zeit ist . Löse diese Gleichung nach auf.
Zeige, dass die Funktion für jeden Wert von eine Lösung der obigen Differenzialgleichung ist
Es gilt:
Weiterhin ist .
Dann ist
Setze und in ein:
Fasse zusammen.
Die linke Seite ist gleich der rechten Seite, damit ist eine Lösung der Differenzialgleichung.
Begründe, warum in der vorliegenden Situation gelten muss
Zur Zeit ist .