Gegeben sind die Funktionen und mit den jeweils maximalen Definitionsmengen und .
Bestimmen Sie die maximale Definitionsmenge von , sowie jeweils Art und x-Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von . (7 BE)
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Teil 1
- Die Funktion ist an den Stellen nicht definiert, an denen die Funktion ebenfalls nicht definiert ist.
Teil 2
- Nach der NEW-Regel hat die Stammfunktion ein Extremum an den Stellen, an denen die Funktion eine Nullstelle hat.
- Überprüfe mithilfe des Vorzeichenwechsels von die Art des Extrempunktes von .
Bestimme die maximale Definitionsmenge von
Die Funktion ist an den Stellen nicht definiert, an denen die Funktion ebenfalls nicht definiert ist.
Setze den Nenner von gleich null:
.
Die Funktion ist an den Stellen nicht definiert.
Die maximale Definitionsmenge von ist demnach:
Begründung:
Damit existiert, darf das Integrationsintervall keine Definitionslücken enthalten.
1. das Intervall enthält die Definitionslücke Integral existiert nicht.
2. das Intervall enthält die Definitionslücke Integral existiert nicht.
Damit ergibt sich die oben angegebene Definitionsmenge.
Bestimme jeweils Art und x-Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von
Nach der NEW-Regel hat die Stammfunktion ein Extremum an den Stellen, an denen die Funktion eine Nullstelle hat.
und
Überprüfe mithilfe des Vorzeichenwechsels von die Art des Extrempunktes von .
Es ist :
Bei findet ein Vorzeichenwechsel von statt, d.h. bei hat einen relativen Tiefpunkt.
Es ist :
Bei findet ein Vorzeichenwechsel von statt, d.h. bei hat einen relativen Hochpunkt.
Zeigen Sie, dass auch in der Form dargestellt werden kann. Ermitteln Sie anschließend eine integralfreie Darstellung von . (8 BE)
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Teil 1
- Führe eine Polynomdivision durch.
Teil 2
- Benutze die durch Polynomdivision entstandene Darstellung von . Führe für den Bruch eine Partialbruchzerlegung durch.
- Bestimme für die einzelnen Integrale jeweils eine Stammfunktion.
- Beachte .
Zeige, dass auch in der Form dargestellt werden kann
Es ist
Führe eine Polynomdivision durch:
Ermittle eine integralfreie Darstellung von
Führe für den Bruch eine Partialbruchzerlegung durch:
Umformung: \cdot HN
Multipliziere mit dem Hauptnenner und kürze.
Löse die Klammern auf.
Fasse zusammen.
Koeffizientenvergleich:
Aus folgt:
Eingesetzt in
eingesetzt in
Damit ergibt sich:
Du erhältst:
Eine Stammfunktion für das erste Integral ist:
Eine Stammfunktion für das zweite Integral ist:
Eine Stammfunktion für das dritte Integral ist:
Zusammengefasst ergibt sich folgende Stammfunktion:
Dann ist
Die integralfreie Darstellung von ist