Die nachfolgende Abbildung zeigt einen Ausschnitt des Graphen einer in stetigen Funktion . Die x-Achse ist Asymptote von . Außerdem gilt: für .
Zudem ist die Funktion mit der Definitionsmenge gegeben.
Entscheiden Sie für die beiden folgenden Aussagen jeweils, ob die Aussage wahr oder falsch ist, und begründen Sie Ihre Entscheidung.
A: „Der Graph von besitzt bei einen Extrempunkt.“
B: „Der Graph von hat bei eine Tangente mit einem positiven y-Achsenabschnitt.“
(5 BE)
Lösung anzeigen
- : Verwende die NEW-Regel.
- : , da die obere Grenze kleiner als die untere Grenze ist. Demnach verläuft für im . Quadranten. Weiterhin ist Was folgt dann für die Tangente im Punkt ?
A: „Der Graph von besitzt bei einen Extrempunkt.“
Verwende die NEW-Regel. An der Stelle, an der die Funktion einen Extrempunkt hat, hat die Stammfunktion einen Wendepunkt.
Damit ist die Aussage falsch.
B: „Der Graph von hat bei eine Tangente mit einem positiven y-Achsenabschnitt.“
, da die obere Grenze kleiner als die untere Grenze ist.
Demnach verläuft für im . Quadranten.
Weiterhin gilt: (siehe ).
Der Punkt liegt im . Quadranten. Die Tangente im Punkt hat eine positive Steigung und der Schnittpunkt mit der y-Achse liegt demnach im negativen
y-Bereich.
Die Aussage ist falsch.