Gegeben ist die Funktion mit der Definitionsmenge .
Ihr Graph in einem kartesischen Koordinatensystem wird mit bezeichnet.
Geben Sie die Gleichungen aller Asymptoten von und die Nullstelle von an.
(2 BE)
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Teil 1
- Betrachte das Verhalten von am linken und am rechten Definitionsrand.
Teil 2
- Berechne .
Gib die Gleichungen aller Asymptoten von und die Nullstelle von an
Asymptoten:
Verhalten von am linken Definitionsrand:
Verhalten von am rechten Definitionsrand:
Es gibt zwei senkrechte Asymptoten bei und .
Nullstelle:
. Die Nullstelle von ist .
Weisen Sie nach, dass die Funktion in ihrer Definitionsmenge umkehrbar ist, und ermitteln Sie die Definitionsmenge der Umkehrfunktion von . (6 BE)
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Teil 1
- Berechne die Ableitung von mithilfe der Quotientenregel und prüfe, ob oder ob für alle ist.
Teil 2
- Ermittle . Dann ist .
Weise nach, dass die Funktion in ihrer Definitionsmenge umkehrbar ist
Berechne die Ableitung von mithilfe der Quotientenregel:
Fasse zusammen.
Für alle gilt: und
ist streng monoton steigend es existiert eine Umkehrfunktion.
Ermittle die Definitionsmenge der Umkehrfunktion von
Gegeben ist die Definitionsmenge . Betrachte das Verhalten von an den Definitionsrändern.
Verhalten von am linken Definitionsrand:
Verhalten von am rechten Definitionsrand:
Die Definitionsmenge der Umkehrfunktion von ist .
Der Graph von und die zur x-Achse senkrechte Gerade bei schließen zusammen mit der x-Achse im I. Quadranten ein Flächenstück ein.
Berechnen Sie die exakte Maßzahl des Flächeninhalts dieses Flächenstücks. (4 BE)
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- Nach Aufgabe a) ist die Nullstelle .
- Berechne das Integral . Ermittle dazu eine Stammfunktion.
Berechne die exakte Maßzahl des Flächeninhalts dieses Flächenstücks
Nach Aufgabe a) ist die Nullstelle .
Berechne das Integral .
Eine Stammfunktion von ist .
Dann folgt:
Die exakte Maßzahl des Flächeninhalts dieses Flächenstücks beträgt .
Graphische Darstellung:
Die Abbildung ist in der Aufgabenstellung nicht verlangt worden. Sie dient nur der Veranschaulichung. Hinweis:
Gegeben ist nun die Funktion mit der maximalen Definitionsmenge . Ermitteln Sie die Definitionsmenge und die exakte Nullstelle von .
(5 BE)
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Teil 1
- Das Argument vom muss größer null sein. Was folgt daraus?
Teil 2
- Es gilt: . Löse die entsprechende Gleichung nach auf.
Ermittle die Definitionsmenge
Es ist mit der maximalen Definitionsmenge .
Das Argument vom muss größer null sein.
Ermittle die exakte Nullstelle von
Es gilt:
Löse die Gleichung nach auf.
Umformung: \cdot(4-x^2)
Löse nach auf.
Umformung: +x^2-4
Du hast eine quadratische Gleichung erhalten. Diese kannst du mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder pq-Formel lösen. Hier erfolgt die Lösung mit der pq-Formel.
Setze und ein.
Die Lösung entfällt, da .
Die exakte Nullstelle von ist also .