Im Laufe der Wachstumsphase von April bis Anfang Oktober vergrößert sich der Durchmesser eines Baumes.
Dieser Zuwachs kann mithilfe von sogenannten „Dendrometern“ sehr genau gemessen werden. Mit diesen Ergebnissen können Rückschlüsse über Wachstumsbedingungen und klimatische Änderungen gezogen werden.
Die Dendrometer sind vor April installiert worden und haben seit dem 1. April den Zuwachs des Baumdurchmessers gemessen.
Eine Messreihe ist im Diagramm (oben rechts) dargestellt.
Auf der Abszisse sind die vergangenen Tage ab dem Beobachtungsstart am 1. April angegeben, auf der Ordinate ist der entsprechend gemessene Zuwachs des Durchmessers in vermerkt.
Die Ergebnisse können mithilfe einer mathematischen Funktion mit der Funktionsgleichung mit modelliert werden.
Dabei beschreibt die Zeit in Tagen ab dem 1. April und den Zuwachs des Durchmessers in ab Beobachtungsbeginn .
Weisen Sie nach, dass die Funktion die Differenzialgleichung erfüllt.
(4 BE)
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- Berechne mit der Quotientenregel.
- Berechne die rechte Seite der Differenzialgleichung und vergleiche.
Weise nach, dass die Funktion die Differenzialgleichung erfüllt
Gegeben ist .
Ableitung mit Potenz- und Kettenregel.
Dann ist:
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Berechne mit der Quotientenregel:
Berechne nun die rechte Seite der Differenzialgleichung:
Bringe die 1. Klammer auf Hauptnenner.
Löse die Klammer im Zähler auf und fasse zusammen.
Damit ist gezeigt, dass die rechte Seite der Differenzialgleichung gleich ist, also erfüllt die gegebene Differenzialgleichung.
Ermitteln Sie mithilfe der Differenzialgleichung aus a) den maximalen Wert, den annehmen kann, und erläutern Sie dessen Bedeutung im Sachzusammenhang.
(4 BE)
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Teil 1
- Durch wird eine nach unten geöffnete Parabel der Form beschrieben.
- Der Hochpunkt ist der Scheitelpunkt der Parabel, der in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen liegt.
- Berechne dann mit den y-Wert.
Teil 2
- ist der Zuwachs des Durchmessers in .
- Was ist dann ?
Ermittle mithilfe der Differenzialgleichung aus a) den maximalen Wert, den annehmen kann, und erläutere dessen Bedeutung im Sachzusammenhang
Gegeben ist .
Durch wird eine nach unten geöffnete Parabel der Form beschrieben.
Der Hochpunkt ist der Scheitelpunkt der Parabel, der in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen und , d.h. bei liegt.
Der maximale Wert, den annehmen kann, ist .
( steht hier für Tag.)
Bedeutung im Sachzusammenhang
ist der Zuwachs des Durchmessers in .
Dann ist die Zuwachsgeschwindigkeit des Durchmessers des Baumes.
Die maximale Zuwachsgeschwindigkeit des Durchmessers ist .