Die Gammaeule ist ein Schmetterling aus der Familie der Eulenfalter, welcher ganzjährig in Deutschland anzutreffen ist.
Wanderungsbewegungen und wechselnde klimatische Einflüsse sorgen bei der Populationsdichte (Anzahl der Gammaeulen pro Hektar) dieser Art für starke Schwankungen.
Aufgrund von Beobachtungen in dem heißen und trockenen Jahr 2003 in einem süddeutschen Untersuchungsgebiet vermuteten Biologen, dass die Entwicklung der Populationsdichte der Gammaeule der Differenzialgleichung gerecht wird. Dabei gibt den Messzeitpunkt im Jahr (in Monaten ab dem 1. Januar) und die Anzahl der gezählten Gammaeulen pro Hektar an. Auf das Mitführen von Einheiten wird verzichtet.
Im Jahr 2003 wurden durchgehend mehr als Gammaeulen pro Hektar beobachtet.
Folgern Sie unmittelbar aus der Differenzialgleichung den Zeitpunkt im Beobachtungszeitraum, an dem die Populationsdichte der Gammaeule im Untersuchungsgebiet maximal war. (4 BE)
Lösung anzeigen
- Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist (beachte ).
- Untersuche den Vorzeichenwechsel an der Stelle .
Folgere unmittelbar aus der Differenzialgleichung den Zeitpunkt im Beobachtungszeitraum, an dem die Populationsdichte der Gammaeule im Untersuchungsgebiet maximal war
Bekannt ist: "Im Jahr 2003 wurden durchgehend mehr als Gammaeulen pro Hektar beobachtet."
Gegeben:
Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist .
Da ist, folgt
Weiterhin ist .
Für ist und für ist .
Es gibt einen Vorzeichenwechsel von absolutes Maximum nach Monaten. (Es gibt nur diesen einzigen Vorzeichenwechsel von .)
Die Populationsdichte der Gammaeule im Untersuchungsgebiet ist nach Monaten maximal.
Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der obigen Differenzialgleichung für . (4 BE)
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- Trenne die Variablen und integriere.
Bestimme die allgemeine Lösung der obigen Differenzialgleichung für
Umformung: \cdot \mathrm{d}t
Trennung der Variablen.
Umformung: :(a-2)
Es folgt:
Umformung: e^{()}
Umformung: +2
Umformung: \text{mit}\;C\in\mathbb{R}^+
Die allgemeine Lösung der obigen Differenzialgleichung für 2 ist .
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Gegebene Differenzialgleichung:
Berechne zunächst die linke Seite der Differenzialgleichung:
Für die rechte Seite der Differenzialgleichung gilt:
Also ist die linke Seite gleich der rechten Seite und erfüllt die gegebene Differenzialgleichung.