Gegeben ist die Funktion mit der Definitionsmenge .
Der Graph von in einem kartesischen Koordinatensystem wird mit bezeichnet.
Ermitteln Sie die Nullstelle von und untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte von für x → . (4 BE)
Lösung anzeigen
Teil 1
- Für die Nullstellen löse die Gleichung , dabei ist .
- Beachte den Definitionsbereich von .
Teil 2
- Der Grenzwert von für gegen ist .
- Untersuche den Grenzwert von .
Ermittle die Nullstelle von
Gegeben ist .
Für die Nullstellen löse die Gleichung .
Es gilt: .
Wegen entfällt die Lösung .
Die einzige Nullstelle von ist .
Untersuche das Verhalten der Funktionswerte von für x →
Der Grenzwert von für gegen ist .
Somit ist .
Die Funktion ist umkehrbar (Nachweis nicht erforderlich). Bestimmen Sie einen Term der Umkehrfunktion von . (5 BE)
Lösung anzeigen
- Tausche die Variablen und löse nach auf. Du erhältst eine quadratische Gleichung, die du mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder pq-Formel lösen kannst.
- Welches Vorzeichen vor der Wurzel ist korrekt?
- Berechne z.B. . Dann gilt:
- Überprüfe damit das Vorzeichen vor der Wurzel.
Bestimme einen Term der Umkehrfunktion von
Tausche die Variablen und löse nach auf:
Umformung: \tan
Löse nach auf.
Umformung: \cdot(y-5)
Löse die Klammer auf.
Umformung: -\tan x \cdot y+5\tan x
Du hast eine quadratische Gleichung erhalten. Diese kannst du nun mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder pq-Formel lösen.
Hier erfolgt die Lösung mit der pq-Formel.
Setze und ein.
Damit ist .
Welches Vorzeichen vor der Wurzel ist korrekt? Dazu können wir die Eigenschaft nutzen. Setze also ein:
Bei der "richtigen" Umkehrfunktion muss der Wert von sein.
Daher ist die Gleichung der Umkehrfunktion