Gegeben ist die streng monotone Funktion mit der Definitionsmenge .
Die Umkehrfunktion von wird bezeichnet.
Geben Sie die Wertemenge von an und ermitteln Sie die Definitionsmenge von , ohne dabei einen Funktionsterm von zu verwenden. (5 BE)
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Teil 1
- . Bestimme also .
Teil 2
- . Bestimme also . (Grenzwertbetrachtung)
Gib die Wertemenge von an
Gegeben ist
Die Wertemenge von ist .
Ermittle die Definitionsmenge von , ohne dabei einen Funktionsterm von zu verwenden
Es gilt:
Ermittle also den Wertebereich der Funktion .
Dabei ist .
Weiterhin folgt:
Dann ist
Somit ist
Die Definitionsmenge von ist .
Bestimmen Sie nun einen Funktionsterm von . (4 BE)
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Ersetze durch und löse nach auf.
Bestimme einen Funktionsterm von
Gegeben ist .
Ersetze durch und löse nach auf.
Umformung: \cdot(e^y+4)
Löse nach auf.
Löse die Klammer auf.
Umformung: -x\cdot e^y
Klammere aus.
Umformung: :(2-x)
Umformung: \ln()
Damit ist die Umkehrfunktion .
Die Funktion mit der Definitionsmenge ist eine Stammfunktion von . Der Graph der Funktion schneidet die y-Achse bei . Ermitteln Sie einen möglichen Term der Funktion . (4 BE)
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- Beachte, dass die Stammfunktion eine ln-Funktion ist.
- Bestimme die Integrationskonstante mit der Aussage "Der Graph der Funktion schneidet die y-Achse bei ".
Ermittle einen möglichen Term der Funktion
Der Graph der Funktion schneidet die y-Achse bei .
Umformung: -2\cdot\ln{(5)}
Wende Logarithmusgesetze an.
Damit ist die gesuchte Stammfunktion