Bei der Erforschung von speziellen Zellen haben Untersuchungen gezeigt, dass sich das Zellvolumen (in) in Abhängigkeit von der seit Beobachtungsbeginn verstrichenen Zeit (in Tagen) mit der Differenzialgleichung beschreiben lässt.
Auf das Mitführen von Einheiten kann in den Rechnungen verzichtet werden.
Zeigen Sie, dass die Funktion mit der Gleichung für beliebige Werte von eine Lösung der obigen Differenzialgleichung ist. Erläutern Sie außerdem die Bedeutung des Parameters im Sachzusammenhang. (4 BE)
Lösung anzeigen
Teil 1
- Bilde die erste Ableitung von mit der Kettenregel und fasse passend zusammen.
Teil 2
- Berechne .
Zeige, dass die Funktion mit der Gleichung für beliebige Werte von eine Lösung der obigen Differenzialgleichung ist
Gegeben sind die Differenzialgleichung und .
Bilde die erste Ableitung von mit der Kettenregel:
Also gilt:
Erläutere außerdem die Bedeutung des Parameters im Sachzusammenhang
Zur Zeit ist .
ist somit das Anfangszellvolumen.
Berechnen Sie unter Verwendung von aus Teilaufgabe a), auf das Wievielfache das Volumen der Zellen auf lange Sicht anwächst, und ermitteln Sie den Zeitpunkt (auf Nachkommastellen gerundet), zu dem sich das Volumen der Zellen verdoppelt hat. (6 BE)
Lösung anzeigen
- Es ist .
- Berechne und vergleiche.
Berechne unter Verwendung von aus Teilaufgabe a), auf das Wievielfache das Volumen der Zellen auf lange Sicht anwächst
Es ist .
Weiterhin ist
Das Volumen der Zellen wächst auf lange Sicht vom Anfangsvolumen auf das -fache Volumen. Es vergrößert sich also mit dem Faktor .
Ermittle den Zeitpunkt (auf Nachkommastellen gerundet), zu dem sich das Volumen der Zellen verdoppelt hat
Doppeltes Volumen.
Umformung: :k
Löse nach auf.
Umformung: \ln
Wende die -Funktion an.
Umformung: :2,5
Umformung: +e^{-0,2\cdot t}
Umformung: -\dfrac{\ln 2}{2,5}
Umformung: \ln
Wende die -Funktion an.
Umformung: \cdot (-5)
Nach rund Tagen hat sich das Volumen der Zellen verdoppelt.