Nun wird die Funktion mit der Definitionsmenge betrachtet.
Ein Ausschnitt des Graphen von ist nebenstehend abgebildet.
Die Funktion ist umkehrbar (Nachweis ist nicht erforderlich). Ermitteln Sie eine Gleichung der Umkehrfunktion von . (5 BE)
Lösung anzeigen
- Tausche mit y und löse nach auf. Welches Vorzeichen vor der Wurzel ist das richtige Vorzeichen?
- Es ist .
- Bei Spiegelung von an der Winkelhalbierenden wird daraus der Punkt . Dieser Punkt muss auf der Umkehrfunktion liegen.
- Prüfe nach.
Ermittle eine Gleichung der Umkehrfunktion von
Gegeben ist .
Tausche mit y und löse nach auf:
Umformung: \cdot(1-2y)
Löse nach auf.
Löse die Klammer auf.
Umformung: +2xy-x
Du hast eine quadratische Gleichung erhalten. Diese kannst du nun mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder pq-Formel lösen.
Hier erfolgt die Lösung mit der pq-Formel:
Setze und ein.
Damit ist .
Welches Vorzeichen vor der Wurzel ist das richtige Vorzeichen?
Es ist .
Bei Spiegelung von an der Winkelhalbierenden wird daraus der Punkt . Dieser Punkt muss also auf der Umkehrfunktion liegen.
Setze die Koordinaten von in ein:
Damit ist die gesuchte Umkehrfunktion.
Zeigen Sie, dass gilt: (2 BE)
Lösung anzeigen
- Führe eine Polynomdivision durch.
Zeige, dass gilt:
Gegeben ist .
Führe eine Polynomdivision durch.
Demnach ist
Der Graph von schließt zusammen mit den beiden Koordinatenachsen im III. Quadranten des Koordinatensystems ein endliches Flächenstück ein.
Ermitteln Sie die Maßzahl des Flächeninhalts dieses Flächenstücks. (6 BE)
Lösung anzeigen
- Die Nullstelle im III. Quadranten ist .
- Berechne das Integral . Setze aus Aufgabe b) ein. Beachte dabei, dass die gesuchte Fläche unterhalb der x-Achse liegt. Der Wert des Integrals ist somit negativ und die Maßzahl des Flächeninhalts ist dann der Betrag davon.
Ermittle die Maßzahl des Flächeninhalts dieses Flächenstücks
Die Nullstellen von sind .
Die Nullstelle im III. Quadranten ist .
Daher muss für die Maßzahl des Flächeninhalts dieses Flächenstücks das Integral berechnet werden. Beachte dabei, dass die gesuchte Fläche unterhalb der x-Achse liegt. Der Wert des Integrals ist somit negativ und die Maßzahl des Flächeninhalts ist dann der Betrag davon.
Die Stammfunktion von ist mit:
Berechne das Integral:
Dabei ist und
Die Maßzahl des Flächeninhalts dieses Flächenstücks ist dann (rund ).