Eine spezielle Rakete mit der Masse Tonnen befindet sich in Ruhe in einem Bezugssystem, in welchem sie keine Kraft von einem anderen Körper erfährt. Ab dem Zeitpunkt wird die Rakete nach dem Rückstoßprinzip in Flugrichtung beschleunigt, indem kontinuierlich ein Teil ihrer Masse in Form von Treibstoff mit einer Ausströmgeschwindigkeit relativ zur Rakete nach hinten ausgestoßen wird. Folglich hängt die Geschwindigkeit der Rakete von der abnehmenden Masse der Rakete ab und kann also durch einen Term beschrieben werden.
Unter Berücksichtigung, dass in Tonnen, in Kilometern pro Sekunde und in Sekunden gemessen wird, wird im Folgenden auf das Mitführen der Einheiten verzichtet.
Aus dem Impulserhaltungssatz kann man die Differenzialgleichung folgern. Ermitteln Sie die spezielle Lösung dieser Differenzialgleichung für das vorliegende Anfangswertproblem.
(4 BE)
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- Trenne die Variablen und integriere.
- Beachte, dass zu Beginn ist.
Ermittle die spezielle Lösung dieser Differenzialgleichung für das vorliegende Anfangswertproblem
Gegeben ist .
Integriere auf beiden Seiten:
Zu Beginn ist .
Dann folgt für
Die Masse der Rakete hängt von der Beschleunigungszeit ab und wird deshalb durch den Term beschrieben. Während der ersten Sekunden nimmt die Masse der Rakete pro Sekunde um Tonnen ab, also gilt:
für .
Die Geschwindigkeit der Rakete in Abhängigkeit von der Zeit wird mit bezeichnet, wobei für die ersten Sekunden gilt: .
Zeigen Sie, dass gilt: .
Ermitteln Sie zudem den Zeitpunkt , zu dem die Rakete eine Geschwindigkeit von hat. Runden Sie Ihr Ergebnis auf eine ganze Zahl. (5 BE)
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Teil 1
- Bekannt sind und .
- Setze in ein.
- Klammere im Nenner aus, kürze und vereinfache weiter.
Teil 2
- Löse die Gleichung nach auf.
Zeige, dass gilt:
Bekannt sind:
und . Weiterhin ist .
Setze ein:
Klammere im Nenner aus.
Kürze mit .
Wende ein Logarithmusgesetz an.
Somit ist .
Ermittle zudem den Zeitpunkt , zu dem die Rakete eine Geschwindigkeit von hat
Umformung: :(-4)
Löse nach auf.
Umformung: e^{()}
Umformung: +0,001\cdot t
Umformung: -e^{-2}
Umformung: \cdot 1000
Runde das Ergebnis auf eine ganze Zahl.
Nach rund Sekunden hat die Rakete eine Geschwindigkeit von erreicht.
Berechnen Sie das Integral (mit aus Teilaufgabe b) z. B. mithilfe einer geeigneten Substitution.
Runden Sie Ihr Ergebnis auf eine ganze Zahl und interpretieren Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang. (6 BE)
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Teil 1
- Gesucht ist .
- Setze .
- Forme das Integral entsprechend um.
- Die Stammfunktion von ist .
Teil 2
- entspricht einer zurückgelegten Strecke (in Kilometern).
Berechne das Integral (mit aus Teilaufgabe b) z. B. mithilfe einer geeigneten Substitution
Gegeben ist:
Setze und erweitere das Integral mit .
Die Stammfunktion von ist .
Dann folgt für das Integral:
Setze die Werte der oberen () und der unteren Grenze () in die Stammfunktion ein und ziehe vom Ergebnis der oberen Grenze das Ergebnis der unteren Grenze ab.
Ergebnis (gerundet auf eine ganze Zahl) :
Interpretiere das Ergebnis im Sachzusammenhang
Das Integral ist die Strecke in Kilometern, die die Rakete innerhalb der ersten Sekunden zurückgelegt hat.