Gegeben ist die Funktion in der Definitionsmenge . Ihr Graph wird mit bezeichnet.
Legen Sie jeweils mittels aussagekräftiger Rechnung für die Aussagen und dar, weshalb diese falsch sind:
: „Der Graph ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.“
: „Der Graph weist den Tiefpunkt auf.“
: „Für die Wertemenge der Funktion gilt . “
(6 BE)
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- : zeige, dass symmetrisch zur y-Achse ist.
- : Berechne y-Werte von in der Nähe von und vergleiche mit .
- : Berechne . Das ist die linke Intervallgrenze. Die rechte Intervallgrenze ist der y-Wert des Hochpunktes.
Lege jeweils mittels aussagekräftiger Rechnung für die Aussagen und dar, weshalb diese falsch sind:
: „Der Graph ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.“
Wegen ist symmetrisch zur y-Achse und kann daher nicht punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung sein.
: „Der Graph weist den Tiefpunkt auf.“
Wenn ein Tiefpunkt wäre, dann müssen Funktionswerte in der Nähe von größer als sein.
, ebenso ist
Somit kann der Punkt kein Tiefpunkt von sein.
Der Punkt ist ein Hochpunkt. Wie unter gezeigt wurde, ist symmetrisch zur y-Achse. Bei hat den größten Wert . Der ist streng monoton steigend. Daher ist der für kleinere Werte von kleiner als bei .
: „Für die Wertemenge der Funktion gilt . “
Es ist die linke Intervallgrenze ist und nicht .
Die rechte Intervallgrenze ist der y-Wert des Hochpunktes .
Damit ist .
Zeichnen Sie den Graphen der Funktion unter Verwendung der Erkenntnisse aus Teilaufgabe a) und weiterer geeigneter Funktionswerte für in ein kartesisches Koordinatensystem. (3 BE)
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- Berechne einige zusätzliche Punkte, die auf liegen, z.B. . ist bekannt.
- Zeichne den Graphen .
Zeichne den Graphen der Funktion unter Verwendung der Erkenntnisse aus Teilaufgabe a) und weiterer geeigneter Funktionswerte für in ein kartesisches Koordinatensystem
Es gilt:
Punkte und
Punkte und
Punkt
Die Funktion mit und ist umkehrbar (Nachweis nicht erforderlich). Ihre Umkehrfunktion wird mit bezeichnet. Ermitteln Sie eine mögliche Funktionsgleichung von . Bestimmen Sie außerdem die Definitionsmenge und die Wertemenge von . (5 BE)
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Teil 1
- Tausche mit und löse nach auf.
- Bei der Umkehrfunktion steht ein vor der Wurzel. Welches Vorzeichen gilt?
- Der Punkt liegt auf . Bei der Spiegelung an der Winkelhalbierenden wird daraus der Punkt , d.h. . Setze in eine der beiden möglichen Umkehrfunktionen ein und prüfe, ob sich eine wahre Aussage ergibt.
Teil 2
- Die Definitionsmenge von ist .
- Bestimme die Wertemenge mit und .
Ermittle eine mögliche Funktionsgleichung von
Tausche mit :
Löse nach auf:
Umformung: \tan
Umformung: +y^2
Umformung: -\tan(x)
Umformung: \sqrt{}
Welches Vorzeichen der Wurzel ist richtig?
Der Punkt liegt auf . Bei der Spiegelung an der Winkelhalbierenden wird daraus der Punkt , d.h. .
Setze in ein.
Eine mögliche Funktionsgleichung von ist .
Bestimme außerdem die Definitionsmenge und die Wertemenge von
Die Definitionsmenge von ist und . Dann ist die Wertemenge von
Die Definitionsmenge von ist .