Gegeben ist die umkehrbare Funktion mit der Definitionsmenge . Ihre Umkehrfunktion wird mit bezeichnet.
Ermitteln Sie die Koordinaten des Schnittpunkts des Graphen von mit der -Achse. (4 BE)
Lösung anzeigen
Ermittle die Koordinaten des Schnittpunkts des Graphen von mit der -Achse
Der Schnittpunkt von mit der x-Achse ergibt bei Spiegelung an der Winkelhalbierenden den Schnittpunkt von mit der y-Achse.
Es ist .
Umformung: \cdot(2+x^2)
Umformung: +x^2-2
Umformung: :2
Man erhält die beiden Lösungen und . Wegen entfällt die Lösung .
Die x-Achse wird also im Punkt geschnitten schneidet die y-Achse im Punkt .
Ermitteln Sie die Steigung der Tangente am Graphen von im Punkt .
Mögliches Teilergebnis: (4 BE)
Lösung anzeigen
Ermittle die Steigung der Tangente am Graphen von im Punkt
Nach Aufgabe a) hat der Punkt die Koordinaten .
Die allgemeine Tangentengleichung ist .
Wegen ist .
Zur Bestimmung der Tangentensteigung berechne die Ableitung von .
Benutze ein Logarithmengesetz:
Benutze bei der Ableitung die Kettenregel:
Dann ist .
Klammere aus:
Bringe auf Hauptnenner.
Fasse zusammen.
Löse die Klammern auf.
Klammere im Zähler und Nenner aus und kürze.
Also ist .
Hinweis: Schneller geht es, wenn man auf das Teilergebnis verzichtet und direkt in den Wert einsetzt:
, also
Nun gilt:
Die Steigung der Umkehrfunktion am gespiegelten Punkt ist der Kehrwert der Steigung der ursprünglichen Funktion im Punkt .
Also ist die Steigung der Tangente im Punkt der Kehrwert von
Die folgende Abbildung ist nicht in der Aufgabenstellung gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
(Die Tangentengleichung im Punkt ist: ).
