Gegeben ist die Funktion mit ihrer maximalen Definitionsmenge . Der Graph von wird mit bezeichnet.
Untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte von bei Annäherung an die Ränder von . (3 BE)
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- Untersuche die Grenzwerte und .
Untersuche das Verhalten der Funktionswerte von bei Annäherung an die Ränder von
Ränder:
Ermitteln Sie die Art und die Koordinaten des relativen Extrempunktes und die exakten Koordinaten des Wendepunktes von .
mögliches Teilergebnis: (8 BE)
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Teil 1
- Berechne die 1. und 2. Ableitung, beachte die Kettenregel.
- Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist .
- Die hinreichende Bedingung für ein Extremum ist .
- Berechne den y-Wert und gib die Koordinaten des Extrempunktes an.
Teil 2
- Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist .
- Handelt es sich bei um eine einfache Nullstelle mit Vorzeichenwechsel?
- Berechne den y-Wert und gib die Koordinaten des Wendepunktes an.
Ermittle die Art und die Koordinaten des relativen Extrempunktes von
Berechne die 1. und 2. Ableitung, beachte die Kettenregel.
Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist .
Löse die Gleichung
Die hinreichende Bedingung für ein Extremum ist .
Berechne den y-Wert:
Es handelt sich um einen relativen Tiefpunkt mit den Koordinaten .
Ermittle die exakten Koordinaten des Wendepunktes von
Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist .
Löse die Gleichung
ist eine einfache Nullstelle von , also Nullstelle mit VorzeichenwechselWendestelle.
Berechne den y-Wert:
Die exakten Koordinaten des Wendepunktes von sind
Zeigen Sie mithilfe partieller Integration, dass die Funktion mit und eine Stammfunktion von ist. (5 BE)
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- Partielle Integration: Es gilt:
- Wende den Faktor-1-Trick an:
Zeige mithilfe partieller Integration, dass die Funktion mit und eine Stammfunktion von ist
Partielle Integration:
Es gilt:
Wende den Faktor-1-Trick an:
Betrachte zunächst nur das Integral ohne den Vorfaktor :
Dabei ist:
Dann folgt:
Für folgt die Behauptung.
Nun wird zusätzlich die Funktion mit der Definitionsmenge und der Gleichung betrachtet. Es gilt also für alle . Der Graph von wird mit bezeichnet. Lässt man um die x-Achse rotieren, entsteht ein Rotationskörper (siehe Abbildung), welcher als Modell für den Kelch eines Saftglases dient. Die Koordinaten der Punkte sind Längenangaben in der Einheit Zentimeter. Auf die Mitführung der Einheiten kann bei den folgenden Rechnungen verzichtet werden. Runden Sie Ihre Ergebnisse auf zwei Nachkommastellen.
1) Die Volumenmaßzahl des obigen Rotationskörpers kann mit dem Integral berechnet werden. Zeigen Sie rechnerisch, dass das Saftglas ein maximales Flüssigkeitsvolumen von ca. aufnehmen kann. (4 BE)
2) Die Standfläche des Saftglases soll kreisförmig sein und den gleichen Durchmesser wie die Querschnittsfläche des Rotationskörpers für haben. Ermitteln Sie die Maßzahl des Flächeninhalts dieser Standfläche. (3 BE)
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Teil 1
- Berechne
Teil 2
- Es ist
1. Zeigen Sie rechnerisch, dass das Saftglas ein maximales Flüssigkeitsvolumen von ca. aufnehmen kann
Runde Deine Ergebnisse auf zwei Nachkommastellen.
Das Saftglas kann ein maximales Flüssigkeitsvolumen von ca. aufnehmen.
2. Ermitteln Sie die Maßzahl des Flächeninhalts dieser Standfläche
Gegeben ist . Dann ist .
Die Maßzahl des Flächeninhalts dieser Standfläche beträgt rund