Gegeben ist die Funktion durch die Gleichung mit ihrer maximalen Definitionsmenge \{} . Der Graph von wird mit bezeichnet.
Zeigen Sie, dass zu jedem der beiden folgenden Terme äquivalent ist:
Hinweis: Für alle drei Darstellungsformen der Funktion gilt: \{} (Nachweis nicht erforderlich) (3 BE)
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- 1. Term: Vereinfache den Zähler.
- 2. Term: Bringe auf Hauptnenner .
Zeige, dass zu jedem der beiden folgenden Terme äquivalent ist
1. Term
2. Term
Bringe auf Hauptnenner .
Geben Sie die Nullstellen von mit ihrer jeweiligen Vielfachheit an. (2 BE)
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- Benutze den 1. Term und lies die Nullstellen im Zähler ab.
- Gib auch ihre Vielfachheit an.
Gib die Nullstellen von mit ihrer jeweiligen Vielfachheit an
Benutze .
Der Zähler wird gleich null für (doppelte Nullstelle) und (einfache Nullstelle).
Geben Sie zu jeder Asymptote von deren Art und Gleichung an. (2 BE)
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- Die Definitionslücke ist ein Pol 2. Ordnung ohne Vorzeichenwechsel senkrechte Asymptote.
- Betrachte den 2. Term von : .
- Was folgt daraus für das Verhalten von gegen unendlich?
Gib zu jeder Asymptote von deren Art und Gleichung an
Es gibt eine senkrechte Asymptote bei , hier ist es ein Pol 2. Ordnung ohne Vorzeichenwechsel.
Betrachte den 2. Term: .
Dabei gilt: und
ist eine schräge Asymptote.
Ermitteln Sie die maximalen Monotonieintervalle von und geben Sie die Art seines einzigen lokalen Extrempunktes an.
mögliches Teilergebnis: (9 BE)
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- Berechne die 1. Ableitung.
- Aus Aufgabe b) ist x=1 eine doppelte Nullstelle und damit ein Kandidat für eine Extremstelle. Prüfe, mithilfe einer Polynomdivision, ob es weitere Extremstellen gibt.
- Erstelle eine Monotonietabelle.
Ermittle die maximalen Monotonieintervalle von und gib die Art seines einzigen lokalen Extrempunktes an
Berechne die 1. Ableitung:
Aus Aufgabe b) ist eine doppelte Nullstelle und damit ein Kandidat für eine Extremstelle.
Prüfe, ob es weitere Extremstellen gibt:
Die Diskriminante es gibt keine weiteren Nullstellen.
Also ist die einzige Extremstelle.
Berechne:
Erstelle eine Monotonietabelle.
Asymptote | TP |
ist sms in bzw. in .
ist smf in .
relativer bei .
Die Abbildung zeigt ein endliches Flächenstück , das unter anderem von begrenzt wird. Berechnen
Sie die Maßzahl seines Flächeninhalts.
Hinweis: Die ganzzahligen
Grenzen des Flächenstücks
dürfen der Abbildung
entnommen werden.
(4 BE)
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- Berechne . Benutze für die Berechnung den 2. Term von .
- Beachte das Vorzeichen.
Berechne die Maßzahl seines Flächeninhalts
Berechne
Die Maßzahl seines Flächeninhalts beträgt rund .