Im Folgenden werden wir eine Bi-Matrix für einen Kartell-Bruch aufstellen. Ein Kartell ist ein Zusammenschluss mehrerer Parteien, die gemeinsam wie ein Monopol auftreten. Ein Kartell-Bruch entsteht, wenn sich eine oder mehrere Parteien nicht an die Absprachen halten, um ihre eigenen Gewinne zu maximieren.
Wir betrachten hierbei den Punschverkauf der beiden Klassen aus dem Artikel zur "Wie Dinge ihren Preis bekommen". Hier nochmal die benötigten Funktionen:
Die beiden Klassen beschließen, gemeinsam wie ein Monopolist aufzutreten. Sie legen fest, den Punsch für 1 € zu verkaufen und dann jeweils die Hälfte der gesamten idealen Punschmenge anzubieten.
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Gehe ähnlich vor wie beim Muffin-Verkauf.
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Stellen wir zunächst die Gewinnfunktion des Monopols auf.
Das Monopol möchte seinen Gewinn maximieren, daher bestimmen wir das Maximum von .
Umformung: G' \overset{!}{=} 0
Umformung: +\frac{x}{100}
Umformung: \cdot 100
Insgesamt sollen also 300 Becher verkauft werden, wobei jede Klasse 150 Becher verkauft. Damit können wir den Gewinn der einzelnen Klassen berechnen, indem wir die Gewinnfunktion entsprechend aufteilen.
einsetzen
Mit der Kartellabsprache erzielt Klasse A einen Gewinn von und Klasse B einen Gewinn von
Obwohl beide Klassen die gleiche Menge Punsch (150 Becher) zum gleichen Preis () verkaufen, erzielt Klasse A einen höheren Gewinn, da sie den Punsch günstiger produziert.
Nutze die Beste-Antwort-Funktion, um zu berechnen, welchen Gewinn jede Klasse erzielen würde, wenn sie sich nicht an die Absprache hält.
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Es wurde vereinbart, dass jede Klasse Becher verkauft. Eine Klasse hält sich an die Absprache, während die andere ihre optimale Verkaufsmenge neu berechnet.
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Wir setzen in den Wert ein, um die optimale Verkaufsmenge für Klasse A zu berechnen:
Setzen wir diese Menge nun in die Gewinnfunktion ein, erhalten wir:
Sollte sich Klasse A nicht an die Absprache halten, erzielt sie einen Gewinn von und damit mehr, als wenn sie sich an die Vereinbarung gehalten hätte.
Analog für Klasse B:
Klasse B würde ihren Gewinn auf erhöhen, also um mehr als bei Einhaltung der Absprache.
Erstelle eine Bi-Matrix zur Darstellung der Entscheidungen.
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Überlege dir zunächst genau, welcher Wert an welcher Stelle in der Bi-Matrix stehen muss. Bestimme anschließend die unbekannten Werte mithilfe der Gewinnfunktionen.
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Tragen wir zunächst alle Werte in die Matrix ein, die wir bereits berechnet haben.
Klasse A / Klasse B | Absprache halten (150 Becher verkaufen) | Abweichen (205 verkaufen) |
|---|---|---|
Absprache halten (150 Becher verkaufen) | 262,50 / 195 | ?/ 210,13 |
Abweichen (250 Becher verkaufen) | 312,50 / ? | ? / ? |
Berechnen wir die fehlenden Werte mithilfe der Gewinnfunktion
Klasse A / Klasse B | Absprache halten (150 Becher verkaufen) | Abweichen (205 verkaufen) |
|---|---|---|
Absprache halten (150 Becher verkaufen) | 262,50 / 195 | / 210,13 |
Abweichen (250 Becher verkaufen) | 312,50 / | / |
Klasse A / Klasse B | Absprache halten (150 Becher verkaufen) | Abweichen (205 verkaufen) |
|---|---|---|
Absprache halten (150 Becher verkaufen) | 262,50 / 195 | 221,25 / 210,13 |
Abweichen (250 Becher verkaufen) | 312,50 / 120 | 243,75 / 107,63 |
Gibt es in diesem Spiel ein Nash-Gleichgewicht?
Zu welchem anderen Spiel lassen sich Parallelen ziehen?
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Zu keinem – entgegen der Erwartung handelt es sich nicht um ein Gefangenendilemma.
Zwar wäre der Gesamtgewinn beider Parteien größer, wenn sie sich an das Kartell halten, als wenn sie es brechen. Jedoch hat Spieler 1 (Klasse A) einen klaren Anreiz, das Kartell zu brechen, indem sie Becher verkauft. Abweichen wäre hier eine dominante Strategie.
Wären nur diese zwei Optionen möglich, wäre es für Spieler 2 (Klasse B) am besten, die Absprache einzuhalten und 150 Becher zu verkaufen. Würde Klasse B jedoch davon ausgehen, dass Klasse A sich ohnehin nicht an die Absprache hält und Becher verkaufen wird, könnte sie mithilfe der besten Antwort-Funktion eine bessere Strategie berechnen. Nämlich:
Denkt nun Klasse A, dass Klasse B Becher verkauft, kann sie ihre Strategie wiederum anpassen.
Passt nun Klasse B ihre Produktion an, optimiert sie ihre Menge entsprechend der neuen Erwartung über Klasse A's Verkaufsstrategie.
Haben wir das Cournot-Nash-Gleichgewicht erreicht, ist ein weiteres Anpassen nicht mehr möglich. (Durch das wechselseitige Anpassen wird hier stets das Cournot-Nash-Gleichgewicht erreicht.) In diesem Gleichgewicht erzielen die Klassen folgende Gewinne:
Hier erkennt man bereits, dass der Gewinn von Klasse A im Cournot-Nash-Gleichgewicht höher ist als unter der Absprache. Die Absprache war also von Anfang an nachteilig für Klasse A.
Das liegt an der vermeintlich fairen Strategie, dass beide Klassen gleich viel Punsch produzieren. Diese Aufteilung ist jedoch ungünstig für Klasse A, da ihr Kostenvorteil durch die günstigere Produktion nicht berücksichtigt wird – ein Vorteil, der im Wettbewerb eine Rolle spielt, hier aber nicht mehr zum Tragen kommt.
Durch eine Aufteilung, die den Kostenvorteil von Klasse A einbezieht, könnten jedoch beide Klassen höhere Gewinne erzielen. Dies wirst du in der nächsten Teilaufgabe untersuchen.
Erstelle die Bi-Matrix für den Kartell-Bruch unter der Annahme, dass sich die Klassen im Vorfeld darauf einigen, dass Klasse A doppelt so viel Punsch wie Klasse B verkauft.Nutze die Geogebra-Anwendung, um die Gewinne schnell zu berechnen.
Tipp: Wenn die Ansicht abgeschnitten wirkt, direkt in GeoGebra öffnen.
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Klasse A / Klasse B | Absprache halten (100 Becher verkaufen) | Abweichen (180 verkaufen) |
|---|---|---|
Absprache halten (200 Becher verkaufen) | / | / |
Abweichen (275 Becher verkaufen) | / | / |
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Prinzipiell ändert die Aufteilung des Punschverkaufs nichts an der Gesamtnachfrage. Daher sollten die Klassen, wenn sie gemeinsam als Monopolist auftreten, weiterhin insgesamt 300 Tassen Punsch verkaufen.
Nach der Absprache soll:
- Klasse A Tassen verkaufen.
- Klasse B Tassen verkaufen.
Würde Klasse A jedoch das Kartell brechen, wäre es für sie ideal, Tassen zu verkaufen.
Für Klasse B wäre es hingegen vorteilhaft, die Absprache zu brechen und 180 Tassen zu verkaufen.
Hieraus ergibt sich die folgende Bi-Matrix:
Klasse A / Klasse B | Absprache halten (100 Becher verkaufen) | Abweichen (180 verkaufen) |
|---|---|---|
Absprache halten (200 Becher verkaufen) | 350/ 130 | 270 / 162 |
Abweichen (275 Becher verkaufen) | 378,13 / 92,50 | 268,13 / 107,63 |
Hier erkennt man, dass die Gewinne beider Klassen im Kartell höher sind als im Cournot-Nash-Gleichgewicht.
Zum Vergleich: Die Gewinne im Cournot-Nash-Gleichgewicht betragen für Klassen:
Man sieht jedoch auch deutlich, dass jeder der Spieler ein starkes Interesse daran hat, als Einziger von der Absprache abzuweichen.
Sollte man das Spiel jedoch mehrfach spielen, könnte es sinnvoll sein, sich an die Absprache zu halten. Wie auch im echten Leben lohnt sich Teamwork, da ein Preiskampf zum Cournot-Nash-Gleichgewicht führt, in dem die Gewinne für alle Beteiligten geringer sind als bei Zusammenarbeit.