Die nach oben geöffnete Normalparabel verläuft durch die Punkte
und
Berechnen Sie die Funktionsgleichung von in der Normalform.
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- Bestimme den Öffnungsfaktor
- Bestimme
- Berechne
- Stelle die Funktionsgleichung von , in der Normalform, auf.
Berechnen der Funktionsgleichung von in der Normalform.
Die allgemeine Form einer quadratischen Funktion lautet:
Da es sich um eine nach oben geöffnete Normalparabel handelt, ist der Öffnungsfaktor
Wir bestimmen den Wert für , indem wir die Koordinaten des Punkts ind die allgemeine Form der quadratischen Gleichung einsetzen.
Jetzt bestimmen wir den Wert für , indem wir die Koordinaten des Punkts in die allgemeine Form der quadratischen Gleichung einsetzen.
Die Normalform der Funktionsgleichung von lautet:
Die nach unten geöffnete Normalparabel hat den Scheitelpunkt .
Ermitteln Sie rechnerisch die Funktionsgleichung von in der Normalform.
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- Bestimme den Öffnungsfaktor
- Stelle die Scheitelform auf.
- Stelle die Funktionsgleichung von , in der Normalform, auf.
Rechnerische Ermittlung der Funktionsgleichung von in der Normalform.
Die allgemeine Form einer quadratischen Funktion lautet:
Da es sich um eine nach unten geöffnete Normalparabel handelt, ist der Öffnungsfaktor
Der Scheitel der Parabel ist laut Angabe:
Die Scheitelform lautet:
Setzte die entsprechenden Werte in die Scheitelform ein.
Wir bestimmen die Normalform der Funktionsgleichung, indem wir die Klammer auflösen und zusammenfassen.
Die Normalform der Funktionsgleichung von lautet:
Zeichnen Sie die Parabeln und in ein Koordinatensystem mit der
Längeneinheit .
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Einzeichnen der Parabeln und in ein Koordinatensystem.
Die Parabel hat die Funktionsgleichung : .
Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten des Scheitelpunkts .
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- Ermittle die Scheitelform mit Hilfe der quadratischen Ergänzung.
- Ablesen der Koordinaten des Scheitelpunkts .
Umformen der Normalform in die Scheitelform.
quadratische Ergänzung
in eine Binomische Formel umschreiben
Der Scheitelpunkt der Parabel ist dann:
Der Punkt liegt auf der Parabel .
Berechnen Sie die y-Koordinate des Punkts .
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- Setze den Wert für in die Funktionsgleichung von ein.
- Berechne die Koordinate des Punkts .
Berechnen der -Koordinate des Punkts .
einsetzen von
ausmultiplizieren
zusammenfassen
Die Koordinaten des Punkts sind dann:
Die folgende Abbildung zeigt die Normalparabel .
Lesen Sie die x-Koordinaten der Nullstellen von aus dem Graphen ab
und überprüfen Sie diese rechnerisch.
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- Lies die Schnittpunkte der Parabel (Nullstellen) mit der -Achse aus der Skizze ab.
- Stelle die Scheitelform auf.
- Berechne die Nullstellen aus der Scheitelform.
Ablesen der Nullstellen von aus dem Graphen.
Die Koordinaten der Nullstellen sind:
Rechnerische Überprüfung der Nullstellen.
Aufstellen der Scheitelform.
Aus der Skizze lesen wir die Koordinaten des Scheitelpunkts ab.
Die Scheitelform lautet:
einsetzen der Koordinaten des Scheitelpunkts in die Formel:
Nullstellen berechnen:
Umformung: -9
subtrahieren
Umformung: \sqrt{}
Wurzel ziehen
Umformung: +4
addieren und Seiten tauschen
zusammenfassen
zusammenfassen
Die Nullstellen sind bzw. .
In der folgenden Aufgabenstellung ist ein mathematischer Fehler enthalten.
„Gegeben ist die Parabel : y 3. Berechnen Sie die Koordinaten
der zwei Schnittpunkte von mit der y-Achse.“
Ändern Sie die Aufgabenstellung so, dass sie mathematisch korrekt ist.
Notieren Sie diese auf Ihrem Lösungsblatt.
/8
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Geänderte Aufgabenstellung.
„Gegeben ist die Parabel .
Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von mit der -Achse.“
oder
„Gegeben ist die Parabel .
Berechnen Sie die Koordinaten der zwei Schnittpunkte von mit der -Achse.“