Aufgabe B 3
Die nebenstehende Skizze zeigt das Viereck .
Es gilt: ; ; ; ; .
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
Zeichnen Sie das Viereck sowie die Diagonale .
Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke .
Teilergebnis: (3,5 P)
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Teil 1
- Zeichne die Strecke . Trage im Punkt den Winkel ab und im Punkt den Winkel . Die freien Schenkel schneiden sich im Punkt .
- Zeichne um einen Kreis mit dem Radius und um einen Kreis mit dem Radius . Die beiden Kreise schneiden sich im Punkt .
- Verbinde die fehlenden Strecken.
Teil 2
- Verwende zur Berechnung der Länge der Strecke den Sinussatz.
Zeichne das Viereck sowie die Diagonale
Zeichne die Strecke . Trage im Punkt den Winkel ab und im Punkt den Winkel . Die freien Schenkel schneiden sich im Punkt . Zeichne um einen Kreis mit dem Radius und um einen Kreis mit dem Radius . Die beiden Kreise schneiden sich im Punkt .
Verbinde die fehlenden Strecken.
Berechne die Länge der Strecke
Verwende zur Berechnung der Länge der Strecke den Sinussatz.
Die Länge der Strecke beträgt rund .
Der Punkt liegt auf der Strecke mit . Der Punkt ist der Fußpunkt des Lotes von auf die Strecke .
Ergänzen Sie in der Zeichnung zur Aufgabenstellung die Strecke .
Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke .
Teilergebnis: (2 P)
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Teil 1
- Ergänze in der Zeichnung zur Aufgabenstellung die Strecke .
- Beachte dabei: Der Punkt liegt auf der Strecke mit . Der Punkt ist der Fußpunkt des Lotes von auf die Strecke .
Teil 2
- Benutze den Kosinus zur Berechnung der Länge der Strecke .
Ergänze in der Zeichnung zur Aufgabenstellung die Strecke
Beachte dabei:
Der Punkt liegt auf der Strecke mit . Der Punkt ist der Fußpunkt des Lotes von auf die Strecke .
Berechne die Länge der Strecke
Das Dreieck ist rechtwinklig.
Bekannt ist und der Winkel .
Es gilt:
Die Länge der Strecke beträgt rund .
Die Strecke mit ist parallel zur Strecke .
Zeichnen Sie die Strecke in die Zeichnung zur Aufgabenstellung ein.
Begründen Sie, dass das Maß des Winkels gleich dem Maß des Winkels ist und bestimmen Sie sodann rechnerisch die Länge der Strecke . (3,5 P)
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Teil 1
- Zeichne die Strecke in die Zeichnung zur Aufgabenstellung ein.
Teil 2
- Die Winkel und sind Stufenwinkel. Was folgt daraus?
Teil 3
- Für die Berechnung der Länge der Strecke verwende den Strahlensatz.
Zeichne die Strecke in die Zeichnung zur Aufgabenstellung ein.
Begründe, dass das Maß des Winkels gleich dem Maß des Winkels ist
Die Winkel und sind Stufenwinkel an den zueinander parallelen Geraden und und somit gleich groß.
Bestimme rechnerisch die Länge der Strecke
Verwende den Strahlensatz (alle Einheiten in cm):
Es gilt:
Die Länge der Strecke beträgt rund .
Berechnen Sie das Maß des Winkels sowie den Flächeninhalt des Vierecks .
Ergebnisse: (2,5 P)
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Teil 1
- Verwende zur Berechnung des Winkels den Kosinussatz.
Teil 2
- Teile das Viereck in zwei Dreiecke und .
- Die Berechnung des Flächeninhalts der beiden Dreiecke erfolgt mit zwei Seiten des Dreiecks und dem Sinus des eingeschlossenen Winkels. Dann gilt z.B. oder entsprechende Formeln.
- Addiere die beiden Dreiecksflächen.
Berechne das Maß des Winkels
Verwende zur Berechnung den Kosinussatz.
Es gilt:
Das Maß des Winkels beträgt rund .
Berechne den Flächeninhalt des Vierecks
Teile das Viereck in zwei Dreiecke und .
Die Berechnung des Flächeninhalts der beiden Dreiecke erfolgt mit zwei Seiten des Dreiecks und dem Sinus des eingeschlossenen Winkels.
Dann gilt z.B. oder entsprechende Formeln.
Dann folgt:
Der Flächeninhalt des Vierecks beträgt rund .
Der Flächeninhalt des Kreissektors mit dem Mittelpunkt und dem Mittelpunktswinkel beträgt des Flächeninhalts des Vierecks .
Berechnen Sie den Radius dieses Kreissektors.
Ergänzen Sie sodann diesen Kreissektor in der Zeichnung zur Aufgabenstellung. (3 P)
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Teil 1
- Berechne des Flächeninhalts des Vierecks .
- Benutze die Formel für den Flächeninhalt eines Kreissektors.
- Erstelle eine Gleichung und löse nach auf.
Teil 2
- Zeichne um den Punkt einen Kreisbogen mit dem berechneten Radius .
Berechne den Radius dieses Kreissektors
Bekannt ist aus Aufgabe d) und der Flächeninhalt des Vierecks beträgt rund .
Weiterhin gilt:
Der Flächeninhalt des Kreissektors mit dem Mittelpunkt und dem Mittelpunktswinkel beträgt des Flächeninhalts des Vierecks .
Berechne des Flächeninhalts des Vierecks
Benutze die Formel für den Flächeninhalt eines Kreissektors allgemein
Für den Flächeninhalt eines Kreissektors gilt allgemein:
Erstelle eine Gleichung und löse nach auf
Mit dem Mittelpunktswinkel folgt dann:
Löse nach auf. (Der Radius hat die Einheit cm.)
Umformung: \cdot\left(\dfrac{360^\circ}{112,06^\circ}\right)
Löse nach auf.
Umformung: :\pi
Umformung: \sqrt{}
Der Radius des Kreissektors beträgt rund .
Ergänze den Kreissektor in der Zeichnung zur Aufgabenstellung
Zeichne um den Punkt einen Kreisbogen mit dem Radius .
