Aufgabe B 2
Kongruente, gleichschenklige Dreiecke und besitzen den gemeinsamen Punkt . Diese Dreiecke haben die Basen und mit den Mittelpunkten und .
Es gilt: .
Die Winkel und haben jeweils das Maß mit .
Die nebenstehende Skizze zeigt die Dreiecke und für .
Die Dreiecke und rotieren um die Gerade . In der Skizze ist der Axialschnitt des für entstehenden Rotationskörpers grau eingefärbt.
Berechnen Sie die Länge der Strecken sowie das Volumen der entstehenden Rotationskörper in Abhängigkeit von .
Ergebnisse: ; (2,5 P)
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Teil 1
- Berechne und löse nach auf.
Teil 2
- Es ist mit .
- Die Grundfläche ist ein Kreis und die Höhe ist .
Berechne die Länge der Strecken in Abhängigkeit von
Die Abbildung ist nicht in der Aufgabenstellung gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
Im oberen Dreieck gilt:
Dabei ist .
Die Länge der Strecken in Abhängigkeit von lautet:
Berechne das Volumen des zugehörigen Rotationskörpers
Die Grundfläche ist ein Kreis mit und .
Dann folgt für das gesuchte Volumen:
Das Volumen des zugehörigen Rotationskörpers ist
Die Dreiecke und sind gleichseitig.
Berechnen Sie das Volumen des zugehörigen Rotationskörpers.
Runden Sie auf zwei Stellen nach dem Komma. (1,5 P)
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- Beachte, dass im gleichseitigen Dreieck alle Winkel gleich sind.
- Berechne .
Bekannt ist, dass die Dreiecke und gleichseitig sind.
Für den Winkel gilt dann:
Das Volumen des zugehörigen Rotationskörpers beträgt rund .