Aufgabe B 1
Rauten besitzen die gemeinsame Diagonale . Die Winkel haben das Maß mit .
Es gilt: .
Die Zeichnung zeigt die Raute mit den Diagonalen und für .
Zeichnen Sie die Raute für in die Zeichnung zur Aufgabenstellung ein. (1 P)
Lösung anzeigen
- Für die Zeichnung braucht man die Länge der halben Diagonalen , die im rechten oberen Dreieck mit dem Tangens berechnet werden kann.
- Mit dieser Länge kann dann die Raute gezeichnet werden.
Die beiden Symmetrieachsen der Raute sollen die Koordinatenachsen sein. Dann liegt die Mitte der Raute im Koordinatenursprung.
Berechnung der Länge der halben Diagonalen ,
Für die Zeichnung werden z.B. die Koordinaten des Punktes benötigt.
Skizze des rechten oberen Dreiecks:
Dann gilt:
Damit kann dann die Raute für gezeichnet werden.
Zeigen Sie, dass für den Umfang der Rauten in Abhängigkeit von gilt:
. (2 P)
Lösung anzeigen
- Der Umfang der Raute ist .
- Berechne im unteren rechtwinkligen Dreieck mithilfe des Sinus.
Zeige, dass für den Umfang der Rauten in Abhängigkeit von gilt:
Der Umfang der Raute ist:
Berechnung von mithilfe des Sinus
Im unteren rechtwinkligen Dreieck gilt:
für
Damit erhält man für :
Damit ist gezeigt, dass für den Umfang der Rauten in Abhängigkeit von gilt: .
Der Umfang der Raute ist um kleiner als der Umfang der Raute .
Berechnen Sie das zugehörige Maß des Winkels .
Runden Sie auf zwei Stellen nach dem Komma. (3 P)
Lösung anzeigen
- Berechne den Umfang der Raute für .
- Löse die Gleichung nach auf.
Berechne den Umfang der Raute für .
Berechne das zugehörige Maß des Winkels
Der Umfang der Raute ist um kleiner als der Umfang der Raute , d.h. der Umgang der Raute muss mit multipliziert werden, um den Umfang der Raute zu erhalten.
mit
Löse die Gleichung nach auf:
Umformung: \cdot \sin(0,5\varphi)
Löse nach auf.
Umformung: :(0,85\cdot12,21)
Umformung: \sin^{-1}()
Umformung: \cdot 2
Das zugehörige Maß des Winkels beträgt rund .