Aufgabe B2
Gegeben sind das Trapez und Punkte auf der Diagonalen (siehe Zeichnung). Die Punkte und legen Dreiecke fest. Die Winkel haben das Maß mit .
Es gilt: ; ; ; ; .
Die Zeichnung zeigt das Dreieck für .
Zeigen Sie rechnerisch, dass für die Länge der Strecken in Abhängigkeit von gilt: .
Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke .
Runden Sie auf zwei Stellen nach dem Komma.
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Teil 1
- Wende den Sinussatz auf das Dreieck an.
- Benutze zur Berechnung des fehlenden Winkels auch das rechtwinklige Dreieck .
Teil 2
- Setze den Winkel in ein.
Zeige rechnerisch, dass für die Länge der Strecken in Abhängigkeit von gilt:
In beliebigen Dreiecken gilt der Sinussatz:
Angewandt auf das Dreieck folgt:
Weiterhin gilt:
Für den Winkel gilt:
Der Winkel befindet sich im rechtwinkligen Dreieck , sodass er berechnet werden kann.
Dann folgt für den Winkel
Nun kann auch der Winkel angegeben werden:
Für den Ansatz mit dem Sinussatz erhält man nun:
Wegen kann die rechte Seite der Gleichung noch umgeformt werden:
Aufgelöst nach erhält man:
Setzt man nun noch ein, dann folgt:
Berechne die Länge der Strecke
Der Winkel ist hier .
Eingesetzt in
Die Länge der Strecke beträgt rund .
Das Dreieck ist gleichschenklig mit der Basis .
Ergänzen Sie das Dreieck in der Zeichnung zur Aufgabenstellung.
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- Errichte die Mittelsenkrechte über der Strecke . Sie schneidet die Strecke in Punkt .
Ergänze das Dreieck in der Zeichnung zur Aufgabenstellung
Das Dreieck ist gleichschenklig mit der Basis .
Errichte die Mittelsenkrechte über der Strecke .
Die Mittelsenkrechte schneidet die Strecke in Punkt .
Siehe Zeichnung:
