Die Aufgabe 2 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.
Die Zufallsgröße gibt die Anzahl der Fehler eines Balls an. Es treten nur die drei in Aufgabe 1 genannten Fehler mit ihren zugehörigen Wahrscheinlichkeiten auf.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von .
Lösung anzeigen
- ist die Anzahl der Fehler.
- Die Wahrscheinlichkeiten werden dem Baumdiagramm aus Aufgabe 1 entnommen.
- Fasse die Wahrscheinlichkeiten zusammen.
- Erstelle die Wahrscheinlichkeitsverteilung von .
Bestimme die Wahrscheinlichkeitsverteilung von
ist die Anzahl der Fehler.
Die Wahrscheinlichkeiten werden dem Baumdiagramm aus Aufgabe 1 entnommen.
Fehler
Fehler
Fehler
Fehler
Fehler
Fehler
Fehler
Fehler
Zusammenfassung der Wahrscheinlichkeiten:
Damit erhält man die folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung von .
Ermitteln Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Zufallswerte um höchstens die einfache Standardabweichung vom Erwartungswert abweichen.
Lösung anzeigen
- Berechne und und .
- Gesucht ist .
- Berechne und . Man erhält das Intervall .
- Betrachte die Wahrscheinlichkeitsverteilung aus Aufgabe a), so stellst du fest, dass nur ein bestimmter Zufallswert in der Ungleichung liegt.
- Dann gilt: ( entnommen aus der Wahrscheinlichkeitsverteilung).
Ermittle, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Zufallswerte um höchstens die einfache Standardabweichung vom Erwartungswert abweichen
Die Varianz ist dann:
Für die Standardabweichung folgt dann:
Gefragt ist nach .
und
Betrachtet man die Wahrscheinlichkeitsverteilung aus Aufgabe a), stellt man fest, dass nur der Zufallswert in der Ungleichung liegt (weil die -Werte 2, 3 und 4 größer als sind).
Somit ist .