Im Folgenden werden relative Häufigkeiten als Wahrscheinlichkeiten interpretiert.
Vor einem Tennisturnier werden die verwendeten Tennisbälle hinsichtlich der Qualität geprüft. Aus Erfahrung weiß man, dass der Bälle den richtigen Durchmesser aufweisen Fehler in der Form sowie Fehler in der Elastizität zu beklagen sind. Alle Fehler treten unabhängig voneinander auf. Im Zufallsexperiment wird ein beliebig ausgewählter Ball auf die drei möglichen Fehler untersucht.
Bestimmen Sie unter Verwendung eines Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeiten aller acht Elementarereignisse dieses Zufallsexperiments.
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- Übertrage die gegebenen Wahrscheinlichkeiten in ein Baumdiagramm und gib die Wahrscheinlichkeiten aller acht Elementarereignisse dieses Zufallsexperiments an.
Bestimme unter Verwendung eines Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeiten aller acht Elementarereignisse dieses Zufallsexperiments
Gegeben seien folgende Ereignisse:
: „Der Ball weist genau 2 Fehler auf.“
: { }
1. Geben Sie in aufzählender Mengenschreibweise an und fassen Sie möglichst einfach in Worte. Prüfen Sie ferner und auf stochastische Unabhängigkeit.
2. Geben Sie ein Ereignis an, für das gilt:
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Teil 1
- : Suche im Baumdiagramm die Ereignisse mit zwei Fehlern.
- : Was ist allen 4 Elementarereignissen gemeinsam?
- Bei stochastischer Unabhängigkeit gilt:
- Berechne und und überprüfe die Bedingung für stochastische Unabhängigkeit.
Teil 2
- Es ist .
- Suche im Baumdiagramm Ereignisse, die zusammen den Wert von ergeben. Es gibt verschiedene Lösungen.
1. Gib in aufzählender Mengenschreibweise an und fassen Sie möglichst einfach in Worte.
: „Der Ball weist genau 2 Fehler auf.“
Das Ereignis ist dann:
Gegeben ist : { }
Das Ereignis lautet in Worten:
: Der Tennisball hat keinen Fehler in der Form.
Prüfe und auf stochastische Unabhängigkeit
Aus dem Baumdiagramm entnimmt man die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten.
Dann ist:
.
Bei stochastischer Unabhängigkeit gilt:
Es gilt:
Das Ereignis .
Der Vergleich zeigt, dass ist, d.h. die Ereignisse sind stochastisch abhängig.
2. Gib ein Ereignis an, für das gilt:
Es ist (siehe Berechnung unter 1.)
Dann folgt aus dieser Gleichung .
Gesucht ist also ein Ereignis mit .
Aus dem Baumdiagramm entnimmt man .
Es gibt nun verschiedene Lösungen:
: Der Durchmesser ist richtig, die Form hat Fehler.
: Der Durchmesser hat Fehler, die Form ist richtig.
Es gibt noch weitere mögliche Lösungen.