Die Aufgabe 2 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.
Gegeben ist nun die Funktion mit , wobei die Funktion aus Aufgabe 1b) ist. Der Graph wird mit bezeichnet.
Berechnen Sie alle Schnittpunkte des Graphen mit den Koordinatenachsen.
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1. Schnittpunkte mit der x-Achse: Löse die Gleichung .
- Die Nullstelle der Funktion ist bekannt .
- Führe eine Polynomdivision durch.
- Löse nun die erhaltene Gleichung, z.B. mit der pq-Formel oder der abc-Formel.
2. Schnittpunkt mit der y-Achse: Setze in ein.
Berechne alle Schnittpunkte des Graphen mit den Koordinatenachsen
Gegeben ist .
Schnittpunkte mit der x-Achse:
Die Nullstelle der Funktion ist bekannt .
Führe eine Polynomdivision durch.
Löse nun die Gleichung mit der pq-Formel:
Setze und ein.
Somit lauten die Schnittpunkte von mit der x-Achse und .
Schnittpunkt mit der y-Achse:
Setze in ein .
Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist .
Ermitteln Sie Art und Koordinaten aller relativen Extrempunkte von . Runden Sie die Koordinaten auf eine Nachkommastelle.
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- Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist .
- Bilde die 1. Ableitung und löse die Gleichung z.B. mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder pq-Formel.
- Die hinreichende Bedingung für eine Extremstelle lautet:
- und
- Bilde die 2. Ableitung und überprüfe, ob an den möglichen Extremstellen größer oder kleiner null ist.
- Berechne die y-Werte der Extrema.
Ermittle Art und Koordinaten aller relativen Extrempunkte von
Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist .
Bilde die 1. Ableitung:
(Nur die Klammer kann null werden.)
Du hast eine quadratische Gleichung erhalten. Diese kannst du nun mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder pq-Formel lösen. Hier erfolgt die Lösung mit der Mitternachtsformel.
Setze und ein.
Fasse zusammen.
Schreibe als .
Ziehe teilweise die Wurzel.
Klammere im Zähler aus und kürze.
Klammere im Zähler aus und kürze
Mögliche Extremstellen sind und .
Die hinreichende Bedingung für eine Extremstelle lautet:
und
Bilde die 2. Ableitung:
rel. Min.
rel. Max.
Berechne die y-Werte der Extrema:
und
Die Extrema lauten demnach (gerundet auf eine Nachkommastelle):
und
Bestimmen Sie die maximalen Krümmungsintervalle von .
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- Untersuche die Krümmung von mit einer Krümmungstabelle.
Bestimme die maximalen Krümmungsintervalle von
Die Funktionen und haben die gleichen Extremstellen und die gleichen Wendestellen. Bekannt ist die Wendestelle von . Also hat auch die Funktion einen Wendepunkt an der Stelle
Untersuche die Krümmung von mit einer Krümmungstabelle.
Krümmung | lgk | WP | rgk |
Damit ist linksgekrümmt für und rechtsgekrümmt für .
Zeichnen Sie unter Mitverwendung vorliegender Ergebnisse den Graphen im Bereich in ein kartesisches Koordinatensystem. Maßstab: LE = .
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- Zeichne die unter a) und b) berechneten wesentlichen Punkte in ein Koordinatensystem ein und verbinde die Punkte zum Graphen von .
Zeichne unter Mitverwendung vorliegender Ergebnisse den Graphen im Bereich in ein kartesisches Koordinatensystem
Es gilt . Interpretieren Sie dieses Ergebnis in Bezug auf .
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- Es wird über die Nullstelle hinweg integriert und das Ergebnis ist gleich null.
- Was bedeutet das für die beiden Flächeninhalte?
Interpretiere dieses Ergebnis in Bezug auf
Bei liegt eine Nullstelle des Graphen von . Wenn von bis integriert wird, wird über diese Nullstelle hinweg integriert.
Das Ergebnis der Integration ist gleich null, d.h. der Flächeninhalt der Fläche, die von bis reicht (Fläche liegt oberhalb der x-Achse), ist gleich dem Flächeninhalt, der von bis reicht (Fläche liegt unterhalb der x-Achse).
Die folgende Abbildung ist nicht in der Aufgabenstellung gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
Die Parabel mit und schließt mit im I. und IV. Quadranten zwei endliche Flächenstücke ein. Zeichnen Sie für in das vorhandene Koordinatensystem ein, schraffieren Sie das linke der beiden Flächenstücke und berechnen Sie die Maßzahl seines Flächeninhalts. Die Integrationsgrenzen können der Zeichnung entnommen werden.
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Teil 1
- Zeichne den Graphen von und schraffiere das linke der beiden Flächenstücke.
Teil 2
- Die Integrationsgrenzen sind und .
- Berechne und dann das Integral .
Schraffiere das linke der beiden Flächenstücke
Zeichne ein.
Berechne die Maßzahl seines Flächeninhalts
Die Integrationsgrenzen sind und .
Es ist:
Dann folgt für das Integral:
Die Maßzahl des Flächeninhalts beträgt .