Gegeben ist die ganzrationale Funktion dritten Grades mit , deren Graph in der Abbildung dargestellt ist.
Vom Graphen sind folgende Eigenschaften bekannt: hat bei der Nullstelle eine Tangente mit mit und besitzt den Wendepunkt
Skizzieren Sie den Graphen der 1. Ableitungsfunktion von in ein geeignetes Koordinatensystem und geben Sie die max. Monotonieintervalle der 1. Ableitungsfunktion an.
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Teil 1
- Der Leitkoeffizient der Funktion ist negativ (siehe Verlauf von ).
- Demnach hat die Ableitungsfunktion von , eine Funktion 2. Grades, ebenfalls einen negativen Leitkoeffizienten, d.h. die Parabel ist nach unten geöffnet und schneidet an den Stellen und die x-Achse.
- Der Scheitel der Parabel liegt bei (Wendestelle von ).
Teil 2
- Betrachte die Parabel. Wo steigt und wo fällt die Parabel?
Skizziere den Graphen der 1. Ableitungsfunktion von in ein geeignetes Koordinatensystem
Die Funktion ist eine Funktion 3. Grades.
Der Leitkoeffizient der Funktion ist negativ (siehe Verlauf von ).
Demnach hat die Ableitungsfunktion von , eine Funktion 2. Grades, ebenfalls einen negativen Leitkoeffizienten, d.h. die Parabel ist nach unten geöffnet und schneidet an den Stellen und die x-Achse. Der Scheitel der Parabel liegt bei (Wendestelle von ).
Der Graph der 1. Ableitungsfunktion von (orangefarbig)
Die max. Monotonieintervalle der 1. Ableitungsfunktion
Betrachte die Parabel. Wo steigt und wo fällt die Parabel?
ist streng monoton steigend für und streng monoton fallend für .
Zur Bestimmung des Funktionsterms ist folgendes Gleichungssystem gegeben:
(I)
(II)
(III)
(IV)
Geben Sie nachvollziehbar an, welche Ansätze zu diesen Gleichungen führen.
Bestimmen Sie mithilfe der Gleichungen aus 1b).
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Teil 1
- Gib die allgemeine Funktionsgleichung für eine Funktion 3. Grades und die 1. und 2. Ableitung an.
- Der Aufgabe entnimmt man dann gegebene Eigenschaften von und erstellt mit diesen Eigenschaften Gleichungen, die den vorgegebenen Gleichungen entsprechen.
Teil 2
- Löse das Gleichungssystem.
Gib nachvollziehbar an, welche Ansätze zu diesen Gleichungen führen
Die allgemeine Funktionsgleichung für eine Funktion 3. Grades lautet:
Die 1. und 2. Ableitung sind dann:
und
Der Aufgabe entnimmt man die folgenden Eigenschaften von :
Nullstelle Gleichung
Wendepunkt Gleichung
Tangente mit bei Gleichung
Wendepunkt bei Gleichung
Bestimme mithilfe der Gleichungen aus 1b)
(I)
(II)
(III)
(IV)
Rechne
Rechne
Setze in ein:
Setze in ein
Aus folgt .
Setze und ein:
Aus folgt .
Setze , und ein:
Damit ist dann .