Gegeben sind die Funktionen und jeweils in ihren Definitionsmengen und . Es sei bekannt, dass der Graph von genau einen Wendepunkt besitzt.
Bestimmen Sie das Monotonieverhalten des Graphen von .
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- Untersuche, ob ist für alle .
- Da ist, kann auf das Monotonieverhalten von geschlossen werden.
Bestimme das Monotonieverhalten des Graphen von
Es ist .
Der Nenner ist für alle größer null.
Der Zähler ist die Summe zweier e-Funktionen und damit auch für alle größer null für alle .
Nun gilt:
für alle .
Demnach ist streng monoton steigend für alle .
Im Schaubild, siehe unten, ist ein Teil des Graphen von abgebildet. Geben Sie nur unter Zuhilfenahme des Schaubilds die - und die -Koordinate des Wendepunkts des Graphen von näherungsweise an und begründen Sie jeweils Ihre Antwort.
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- Bestimme den Hochpunkt von .
Gib nur unter Zuhilfenahme des Schaubilds die - und die -Koordinate des Wendepunkts des Graphen von näherungsweise an und begründe jeweils Deine Antwort
Die Wendepunkte einer Integralfunktion liegen dort, wo sich die Krümmung der zu integrierenden Funktion ändert, also dort, wo die zweite Ableitung der Integralfunktion null wird und ihr Vorzeichen wechselt.
liefert die Extremstellen von .
Der Abbildung kann man die Koordinaten des Hochpunktes entnehmen.
Sie sind ungefähr .
Der Wendepunkt von hat dann ebenfalls diese Koordinaten .
Bestimmen Sie eine integralfreie Darstellung von .
Hinweis: Die Substitution kann hilfreich sein.
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- Zerlege das Integral in die Summe von 2 Integralen.
- 1. Integral: Es ist . Dann ist . Die Stammfunktion dieses Integrals ist die ln-Funktion. Beachte die Resubstitution.
- 2. Integral: Hier gilt nach Substitution mit und , dass die Stammfunktion dieses Integrals die arctan-Funktion ist. Beachte die Resubstitution.
- Addiere die beiden gefundenen Lösungen.
Bestimme eine integralfreie Darstellung von
Beachte .
Zerlege das Integral in die Summe von 2 Integralen.
Für das erste Integral gilt:
Es ist . Dann folgt mit
Dann ist
Für das zweite Integral gilt:
Es ist und .
Weiterhin gilt: und
Dann ist und
Als Lösung erhält man: