Die Mittelpunkte der Seitenflächen eines Würfels sind die Eckpunkte eines Oktaeders
(vgl. Abbildung).
Die Eckpunkte und des Oktaeders liegen in der Ebene mit der
Gleichung .
Weisen Sie nach, dass die Kantenlänge des Würfels 12 beträgt.
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- Berechne den Betrag des Vektors .
Die Kantenlänge des Würfels soll 12 betragen
Berechne den Betrag des Vektors .
Die Kantenlänge des Würfels beträgt .
Bestimmen Sie die Koordinaten eines der beiden Eckpunkte des Oktaeders, die nicht in liegen.
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- Bestimme den Mittelpunkt von
- Lies den Normalenvektor der Ebene ab und berechne seinen Betrag.
- Da die Kantenlänge des Würfels ist, ist die Höhe einer Pyramide gleich .
- Überlege Dir, wie oft der Normalenvektor zum Vektor addiert werden muss, um die Spitze der oberen Pyramide zu erreichen.
Die Koordinaten eines der beiden Eckpunkte des Oktaeders, die nicht in H liegen.
Die Spitze der oberen Pyramide liegt senkrecht über dem Mittelpunkt von .
Weiterhin kann der Normalenvektor der Ebene abgelesen werden:
Sein Betrag ist .
Da die Kantenlänge des Würfels ist, ist die Höhe einer Pyramide gleich .
Da der Betrag des Normalenvektors beträgt, muss er zweimal zum Vektor addiert werden, um zur Pyramidenspitze zu gelangen ().
Dann folgt für den Vektor :
Der eine Eckpunkt des Oktaeders hat die Koordinaten .
Ergänzung (nicht in der Aufgabenstellung gefordert):
Der andere Eckpunkt , der nicht in liegt, ist dann:
Der andere Eckpunkt des Oktaeders hat die Koordinaten .