Aufgabengruppe
Gegeben ist für jede positive reelle Zahl die in definierte Funktion mit . Abbildung 2 zeigt den Graphen von sowie die Tangente an den Graphen von im Punkt
Aufgabe 1
Geben Sie anhand von Abbildung 2 eine Gleichung der Tangente an.
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Lösung
Voraussetzung
Tangente an GraphStrategie
- Es ist .
- Lies den y-Achsenabschnitt ab.
- Zeichne ein passendes Steigungsdreieck ein und bestimme .
Schritte
Gleichung der Tangente t
Der y-Achsenabschnitt ist (Schnitt von mit der y-Achse) und mit dem eingezeichneten Steigungsdreieck erhält man .
Also ist .
Aufgabe 2
Weisen Sie nach, dass für jeden Wert die Tangente an den Graphen von im Punkt die y-Achse im Punkt schneidet.
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Voraussetzung
Tangente an GraphStrategie
- Berechne die Gleichung der Tangente für im Punkt .
- Setze in die Tangentengleichung ein, um den Schnittpunkt mit der y-Achse zu bekommen.
Schritte
Tangente an den Graphen von im Punkt schneidet die y-Achse im Punkt
Es ist und der Punkt ist .
Weiterhin gilt für die Tangente:
Setze die Koordinaten von in ein:
Mit folgt dann .
Damit erhält man für die Tangentengleichung im Punkt :
Für den Schnittpunkt der Tangente mit der y-Achse setze in ein. Mit folgt .
Also ist: