Die Abbildung zeigt den Graphen der in definierten Funktion mit
.
Beurteilen Sie mithilfe der Abbildung, ob der Wert des Integrals
negativ ist.
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- Unterteile das Integrationsintervall in passende Abschnitte.
- Übertrage die unter der x-Achse liegenden Teilflächen in den oberhalb der x-Achse liegenden Bereich und vergleiche.
In der folgenden Abbildung sind verschiedene Flächen farblich markiert.
Es soll beurteilt werden, ob der Wert des Integrals negativ ist.
Dazu wurde das Integrationsintervall in mehrere Abschnitte eingeteilt.
Die beiden Flächeninhalte sind gleich groß.
Ebenso gleich groß sind die beiden Flächeninhalte .
Die Fläche und die Fläche sind in die Fläche eingezeichnet. Man sieht, dass die Fläche größer ist als die Summe der beiden Flächen und . Demnach ist der Wert des Integrals nicht negativ, sondern positiv.
Antwort: Der Wert des Integrals ist nicht negativ, sondern positiv.
Weisen Sie rechnerisch nach, dass die folgende Aussage zutrifft:
Die Tangente an im Koordinatenursprung ist die Gerade durch die Punkte und .
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- allgemeine Tangentengleichung:
- Berechne die erste Ableitung der Funktion .
- Berechne und gib die Tangentengleichung durch den Koordinatenursprung an.
- Prüfe, ob die beiden gegebenen Punkte auf liegen.
allgemeine Tangentengleichung:
Die Tangente an im Koordinatenursprung hat die selbe Steigung wie .
Berechne die Steigung von im Koordinatenursprung:
Im Koordinatenursprung ist
Da die Tangente durch den Koordinatenursprung verläuft, ist .
Demnach erhält man für die Tangente im Koordinatenursprung die Gleichung
Damit die beiden Punkte auf t liegen, muss die Tangentengleichung erfüllt sein, wenn man die Punkte einsetzt:
Die beiden Punkte und liegen auf .
Antwort: Die Aussage trifft zu.