Betrachtet wird die Schar der in definierten Funktionen
mit und . Die Funktion aus Aufgabe 1 ist eine Funktion dieser Schar.
Jeder der abgebildeten Graphen I, II und III der Schar gehört, bei festen
Werten von und , zu einem der Werte , und .
Ordnen Sie den Graphen die genannten Werte von zu und begründen
Sie Ihre Zuordnung.
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- Setze nacheinander die drei gegebenen Werte für in die Funktion ein.
- Untersuche jeweils, wie sich die e-Funktion im Nenner für bzw. verhält und überlege dir, was dies für das Verhalten von bedeutet.
- Schließe auf den zugehörigen Graphen.
Ordne den Graphen die genannten Werte von zu und begründe Deine Zuordnung
Für ist .
Betrachtet man die e-Funktion im Nenner, dann gilt:
, der Graph nähert sich einem konstanten Wert.
, der Graph nähert sich der x-Achse.
Damit gehört Graph III zu .
Für ist eine Konstante.
Damit gehört Graph I zu .
Für ist .
Betrachtet man die e-Funktion im Nenner, dann gilt:
, der Graph nähert sich der x-Achse.
, der Graph nähert sich einem konstanten Wert.
Damit gehört Graph II zu .
Auf einer Inselgruppe wurden Seeadler neu angesiedelt. Betrachtet wird die anschließende Entwicklung der Anzahl der Seeadler. In einem Modell wird diese Entwicklung mithilfe des Graphen der Funktion beschrieben, die im Folgenden mit bezeichnet wird. Es gilt also . Dabei ist die seit der Ansiedlung vergangene Zeit in Jahren und die Anzahl der Seeadler.
Geben Sie auf Grundlage des Modells an, wie viele Seeadler angesiedelt wurden, und berechnen Sie, nach wie vielen Jahren die Anzahl der Seeadler auf angewachsen ist.
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Teil 1
- Berechne die Anzahl der Seeadler zur Zeit , indem du diesen Wert in einsetzt.
Teil 2
- Setze und löse die Gleichung nach auf.
Wie viele Seeadler wurden angesiedelt
Es muss die Anzahl der Seeadler zur Zeit berechnet werden. Wir haben gegeben, dass . Einsetzen von gibt:
Es wurden also 20 Seeadler angesiedelt.
Berechne, nach wie vielen Jahren die Anzahl der Seeadler auf angewachsen ist
Gesucht ist die Anzahl an Jahren, zu der Seeadler vorhanden sind.
Setze also und löse nach auf:
Umformung: \cdot(1+e^{-0,2x})
Bringe den Nenner auf die andere Seite.
Umformung: :32
Kürze.
Umformung: -1
Umformung: \ln()
Benutze die ln-Funktion.
Umformung: :(-0,2)
Somit ist nach rund 7 Jahren ist die Anzahl der Seeadler auf angewachsen.
Die Tangente an den Graphen von im Punkt hat die Steigung . Würde die Entwicklung der Anzahl der Seeadler im Modell mithilfe dieser Tangente beschrieben werden, so ergäbe sich für den Zeitpunkt vier Jahre nach der Ansiedlung eine bestimmte Anzahl von Seeadlern. Untersuchen Sie, ob diese Anzahl mit derjenigen übereinstimmt, die sich bei einer Beschreibung mithilfe des Graphen von ergeben würde.
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- Bestimme mit den Angaben die Gleichung der Tangente und berechne den y-Wert für .
- Berechne und vergleiche die beiden berechneten Werte.
Untersuche, ob diese Anzahl mit derjenigen übereinstimmt, die sich bei einer Beschreibung mithilfe des Graphen von ergeben würde
Der Punkt ist gleich . Durch diesen Punkt verläuft die Tangente und hat die Steigung .
Für ist .
Nach Jahren wären mit dem Modell Tangente Seeadler vorhanden.
Berechne :
Da es nur "ganze" Seeadler gibt, sind mit diesem Modell ebenfalls Seeadler vorhanden.
Die beiden Anzahlen stimmen überein.
Unter bestimmten anderen Gegebenheiten auf der Inselgruppe kann die
Entwicklung der Anzahl der Seeadler im Modell mithilfe des Graphen einer
anderen Funktion aus der Schar der Funktionen beschrieben
werden. Das folgende Gleichungssystem ermöglicht die Bestimmung der
zugehörigen Werte von und .
(1) (2) (3)
Interpretieren Sie jede der drei Gleichungen im Sachzusammenhang.
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Gleichung (1):
- Der Term der e-Funktion im Nenner hat hier den Wert . Was folgt daraus für den eingesetzten -Wert und was beschreibt dieser im Sachzusammenhang?
Gleichung (2):
- Der Grenzwert gibt an, wie viele Seeadler nach langer Zeit vorhanden sind.
Gleichung (3):
- Im Nenner ist eingesetzt. Erinnere dich daran, was und angeben und Folgere damit, wofür der Term steht.
Interpretiere jede der drei Gleichungen im Sachzusammenhang
(1)
Die Gleichung erhält man, wenn man berechnet.
Die Gleichung gibt also die Anfangszahl der neu angesiedelten Seeadler wieder.
Zu Beginn wurden 20 Seeadler angesiedelt.
(2)
Mit dieser Gleichung ermittelt man die Zahl der Seeadler nach einer sehr langen vergangenen Zeit.
Nach sehr langer Zeit sind Seeadler vorhanden.
(3)
Hier wurde in die Funktion, die die Anzahl der Adler angibt, der -Wert eingesetzt, was im Sachzusammenhang Jahren entspricht.
Die Gleichung besagt also, dass sich nach Jahren Seeadler auf der Inselgruppe befinden.
Ermitteln Sie die Werte von und .
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- Der Verlauf des Graphens von entspricht dem des Graphens III in Aufgabe a), d.h. ist negativ.
- Wie verhält sich dann Gleichung (2) für negatives ? Man erhält eine Gleichung für und .
- Setze in Abhängigkeit von in Gleichung (1) ein und berechne .
Ermittele die Werte von und
Der Verlauf des Graphens von entspricht dem des Graphens III in Aufgabe a), d.h. ist negativ.
Dann folgt aus Gleichung (2):
Setzt man in Gleichung (1) ein, erhält man:
Setze ein.
Umformung: \cdot (b+1)
Löse die Klammer auf.
Umformung: -20\cdot b
Umformung: :25
Setze in ein .
Die Werte von und sind und .