Die Abbildung zeigt den Graphen der in definierten Funktion
. Der Graph ist symmetrisch bezüglich seines Wendepunkts .
Begründen Sie anhand des Funktionsterms von , dass keine Nullstelle hat, und geben Sie sowie an.
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Teil 1
- Betrachte den Zähler von . Kann er gleich null werden?
Teil 2
- Beachte bei der Berechnung der Grenzwerte, wie sich die e-Funktion in Nenner verhält.
Begründe anhand des Funktionsterms von , dass keine Nullstelle hat
Der Zähler von ist gleich und damit ungleich , d.h. hat keine Nullstelle.
Berechne und
Berechnen Sie die mittlere Steigung des Graphen von im Bereich auf Hundertstel genau und bestimmen Sie grafisch die Steigung des Graphen von in seinem Wendepunkt.
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Teil 1
- Die mittlere Steigung ist die Steigung der Sekante:
Teil 2
- Zeichne ein Steigungsdreieck im Wendepunkt ein.
Berechne die mittlere Steigung des Graphen von im Bereich auf Hundertstel genau
Wir verwenden die Formel für die mittlere Steigung. Hier ist und , also erhalten wir:
Die mittlere Steigung des Graphen von im Bereich beträgt rund .
Bestimme grafisch die Steigung des Graphen von in seinem Wendepunkt
Die Steigung des Graphen von in seinem Wendepunkt beträgt .
Für die in definierte erste Ableitungsfunktion von gilt .
Geben Sie die Bedeutung dieser Tatsache im Hinblick auf den Verlauf des Graphen von an und skizzieren Sie in der Abbildung den Graphen von .
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gTeil 1
- Es gilt: Wenn , dann ist der Graph von achsen-symmetrisch zur y-Achse.
Teil 2
- Die größte Steigung hat im Wendepunkt (in Aufgabe b) berechnet).
- Entnimm dem Graphen von die Steigungen für und für .
- Beachte die Symmetrie von .
Gib die Bedeutung dieser Tatsache im Hinblick auf den Verlauf des Graphen von an
Wenn gilt, dann verläuft der Graph von symmetrisch zur y-Achse.
Skizziere in der Abbildung den Graphen von
Anmerkung zur Zeichnung:
Für bzw. ist , da in diesen Bereichen nahezu gar nicht steigt oder fällt.
Für ist und ist symmetrisch zur y-Achse.
Betrachtet wird die in definierte Funktion
Zeigen Sie, dass die Funktion eine Stammfunktion von ist.
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- Wenn eine Stammfunktion von ist, dann muss sein.
- Berechne also die erste Ableitung von .
Zeige, dass die Funktion eine Stammfunktion von ist
Wenn eine Stammfunktion von ist, dann muss sein.
Berechne also die erste Ableitung von :
Leite ab, beachte die Kettenregel.
Vereinfache.
Bringe auf gemeinsamen Nenner.
Löse die Klammer auf.
Vereinfache den Zähler.
Die erste Ableitung von ist gleich .
Das ist aber gerade die Funktion . Damit ist gezeigt, dass eine Stammfunktion von ist.
Beurteilen Sie die folgende Aussage:
Der Graph von verläuft vollständig unterhalb der x-Achse.
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- Es ist .
- Betrachte das Vorzeichen des Terms , wenn verschiedene Werte annimmt.
Der Graph von verläuft vollständig unterhalb der x-Achse
Es ist .
Nachdem ist, müssen wir das Vorzeichen des Terms bestimmen:
Für gilt , denn hier ist und daher .
Für ist .
Für gilt , denn hier ist und daher .
Also ist für alle der Term und der Graph von verläuft vollständig unterhalb der -Achse.
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Da der Zähler des Bruchs im Logarithmus immer kleiner als der Nenner ist, nimmt der Bruch immer Werte kleiner als an, und der Logarithmus ist stets negativ.
Begründen Sie, dass der Wert des Integrals für jede positive reelle Zahl ohne Verwendung einer Stammfunktion von exakt bestimmt werden kann, und geben Sie den Wert des Integrals an.
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- Betrachte eventuell zunächst einen konkreten Fall wie .
- Teile das Integral auf in und .
- Überlege dir nun, wie Du die zu den Integralen gehörigen Flächen geschickt anordnen kannst, um leicht ihren gemeinsamen Flächeninhalt berechnen zu können.
- Funktioniert Deine Methode auch für ein allgemeines ? Was musst Du ändern oder anpassen?
Bestimmung des Werts des Integrals ohne Stammfunktion
Der konkrete Fall
Gezeichnet ist in der Abbildung das Integral , wobei
und .
Wegen der Punktsymmetrie zum Wendepunkt kann die Fläche auch oberhalb von angeordnet werden, sodass sich für ergibt.
Der allgemeine Fall
Oben war . Wenn nun ein anderer Wert wäre, so könnten völlig analog die Flächen unter dem Graphen von von bis und von bis übereinander gelegt werden, um ein Rechteck zu erhalten.
Der wichtige Schritt ist nun, zu erkennen, dass die Höhe des entstehenden Rechtecks immer ist, ganz unabhängig davon, welcher Wert für gewählt wurde, während die Breite des Rechtecks durch gegeben ist. Also ist allgemein die berechnete Fläche gleich .
Aus dieser Überlegung folgt bereits der Wert des Integrals: