Zur Anmeldung auf der Webseite des Streamingdiensts ist ein persönliches
Kennwort erforderlich. Für das Kennwort können 80 verschiedene Zeichen
verwendet werden: je 26 Groß- und Kleinbuchstaben, 10 Ziffern sowie
18 Sonderzeichen.
Einige Abonnenten verwenden ein Kennwort, das genau acht Zeichen
lang ist und nur aus Kleinbuchstaben besteht. Dabei können Zeichen
mehrfach vorkommen. Zeigen Sie, dass für diese Abonnenten weniger
als ein Tausendstel aller möglichen Kennwörter infrage kommen, die aus
genau acht Zeichen bestehen.
Lösung anzeigen
Verwendet ein Benutzer nur Kleinbuchstaben, hat er für jedes der Zeichen nur Möglichkeiten. Die Anzahl der möglichen Kombinationen berechnet man, indem man die achtmal mit sich selbst malnimmt:
Verwendet ein Benutzer alle Zeichen, gibt es deutlich mehr mögliche Passwörter:
Dividiert man die Anzahlen der möglichen Passwörter, so zeigt sich, dass nur ein Bruchteil, nämlich nur ca. an Möglichkeiten zur Verfügung stehen, wenn man nur Kleinbuchstaben verwendet. Dies entspricht Promille, also weniger als ein Tausendstel.
Niclas beschließt, ein Kennwort zu wählen, das die beiden folgenden
Bedingungen erfüllt:
- Es besteht aus genau acht Zeichen, die untereinander verschieden sind.
- Die Buchstaben seines Namens sind in der korrekten Reihenfolge und unter Berücksichtigung der Groß- und Kleinschreibung enthalten.
Damit sind beispielsweise Nic4+las oder nNicl*as mögliche Kennwörter. Bestimmen Sie die Anzahl aller derartigen Kennwörter.
Lösung anzeigen
- Berechne die Anzahl der verschiedenen Kombinationen, die durch die Wahl unterschiedlicher Zeichen entstehen
- Berechne die Anzahl der verschiedenen Anordnungen der Zeichen
- Berechne mit deinen bisherigen Ergebnissen die insgesamte Anzahl der möglichen Passwörter
Anzahl der Zeichenkombinationen
Für das erste Zeichen, das nicht Teil von Niclas' Namen ist, gibt es Möglichkeiten, da man die Buchstaben des Namens von den insgesamt Zeichen abziehen muss. Für das zweite Zeichen, das nicht Teil von Niclas' Namen ist, gibt es nur noch Möglichkeiten, da man auch das erste Zeichen nicht mehr verwenden darf. So ergeben sich für den Fall, dass beide Zeichen, die nicht Teil des Namens sind, Möglichkeiten.
Anzahl der Anordnungen
Nun muss man auch beachten, dass man die Plätze der Zeichen noch veränderbar sind.
Befindet sich das erste Zeichen, das nicht Teil des Namens ist, auf der ersten Stelle, so gibt es für das zweite Zeichen noch mögliche Plätze.
Befindet das erste Zeichen, das nicht Teil des Namens ist, auf der zweiten Stelle, so gibt es für das zweite Zeichen noch mögliche Plätze.
Befindet das erste Zeichen, das nicht Teil des Namens ist, auf der dritten Stelle, so gibt es für das zweite Zeichen noch mögliche Plätze und so weiter.
Insgesamt ergeben sich somit mögliche Aneinanderreihungen.
Details anzeigen
Um zu berechnen, wie viele Möglichkeiten es gibt, die beiden Zeichen zu platzieren, kann man auch den Binomialkoeffizienten benutzen.
errechnet die Anzahl an Möglichkeiten, aus möglichen Plätzen zu wählen.
Anzahl der Passwörter
Für jede der verschiedenen Anordnungen gibt es verschiedene Zeichenkombinationen, insgesamt ergeben sich also verschiedene Passwörter, die die Kriterien erfüllen.